[論文レビュー] Recurrence of Markov chain traces

Itaï Benjamini, Jonathan Hermon|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 20被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、可算状態空間上の定常測度をもつ任意の一時的で非周期的マーカフチェーンのトレースが、単純ランダムウォーク（SRW）に対してほとんど確実に再帰的であることを確立する。主な結果は、一時的なグラフ（例：d ≥ 3 の場合の Z^d）は、すべての辺を正の確率で渡る一時的で最近接のマーカフチェーンを支持できないが、これは d = 2 の場合に限って可能である。これはガディ・コズマによる構成によって示されている。

ABSTRACT

It is shown that transient graphs for the simple random walk do not admit a nearest neighbor transient Markov chain (not necessarily a reversible one), that crosses all edges with positive probability, while there is such chain for the square grid $\mathbb{Z}^2$. In particular, the $d$-dimensional grid $\mathbb{Z}^d$ admits such a Markov chain only when $d=2$. For $d=2$ we present a relevant example due to Gady Kozma, while the general statement for transient graphs is obtained by proving that for every transient irreducible Markov chain on a countable state space, which admits a stationary measure, its trace is a.s. recurrent for simple random walk. The case that the Markov chain is reversible is due to Gurel-Gurevich, Lyons and the first named author (2007). We exploit recent results in potential theory of non-reversible Markov chains in order to extend their result to the non-reversible setup.

研究の動機と目的

• すべての辺を正の確率で渡す一時的で最近接のマーカフチェーンを許容するグラフを特定すること。
• 再帰的トレースの結果を可逆でないマーカフチェーンに拡張し、定常測度をもつ場合に適用すること。
• d次元格子 Z^d の場合を解明し、このような辺を渡る一時的チェーンが存在する条件を特定すること。
• 一時的なグラフ（例：d ≥ 3 の Z^d）は、このようなチェーンを支持できないが、Z^2 では可能であることを確立すること。
• 最近年の非可逆的ポテンシャル理論を用いて、以前の可逆チェーンに関する結果を一般化すること。

提案手法

• 任意の一時的で非周期的マーカフチェーンに定常測度をもつ場合、そのトレースが単純ランダムウォーク（SRW）に対してほとんど確実に再帰的であることを証明する。
• 非可逆マーカフチェーンのためのポテンシャル理論的道具を用い、グレル＝グレヴィッチ、ライオンズ、ベンジャミーニ（2007年）の先行結果を拡張する。
• トレースグラフ PATH を、チェーンが訪問した頂点と渡った辺からなるランダム部分グラフとして定義する。
• トレースネットワークにおける辺の重みを、各辺の通過回数 N(e) またはその期待値 E_o[N(e)] を用いて分析する。
• レイリーの単調性原理を適用し、一時的なグラフ上では辺を渡るチェーンが排除されることを示す。
• ガディ・コズマによる非可逆的で一時的な出生・死滅チェーンを、Z^2 上に構成し、それが可能な限り再帰的であるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフに対して、すべての辺を正の確率で渡す一時的で最近接のマーカフチェーンが存在するか。
• RQ2 定常測度をもつ一時的で非可逆マーカフチェーンのトレースが、単純ランダムウォーク（SRW）に対して再帰的になり得るか。
• RQ3 なぜ2次元格子 Z^2 のみが、このような一時的で辺を渡るチェーンを許容する Z^d の唯一の例であるのか。
• RQ4 マーカフチェーンのどの構造的性質が、チェーンが一時的でもトレースが再帰的になるのを可能にするか。
• RQ5 定常測度の存在下で、トレース再帰性結果における可逆性の仮定を排除できるか。

主な発見

• 任意の一時的で非周期的マーカフチェーンに定常測度をもつ場合、そのトレースがトレースグラフ上で単純ランダムウォーク（SRW）に対してほとんど確実に再帰的である。
• Z^d（d ≥ 3）のような一時的グラフでは、すべての辺を正の確率で渡すような一時的マーカフチェーンは存在しない。
• Z^2 上では、このようなチェーンが存在する—具体的には、ガディ・コズマによる非可逆的で一時的な出生・死滅チェーンであり、それが可能な限り再帰的である。
• 辺の重みが通過回数であるネットワーク（PATH, N）のトレースは、SRWに対してほとんど確実に再帰的である。
• 辺の重みが期待通過回数であるネットワーク（G(X), E_o[N]）のトレースも再帰的である。
• 遷移確率が0から正の下限で有界であっても、Z^2 上ではこのようなチェーンを再帰的トレースを保つために可逆にできない。