[論文レビュー] Recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials

Jun Ma, Shi-Mei Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二項Euler多項式の再帰的関係について、3つの構成的証明を確立し、特別な置換の集合における降下統計量と上昇統計量を用いて、これらの多項式の対称性問題に対して双対的解法を提示する。主な貢献として、$k$-等しい実超平面配置の補集合のBetti数の組合せ的解釈を、置換における符号付きサイクル統計量を用いて行う。

ABSTRACT

Binomial-Eulerian polynomials were introduced by Postnikov, Reiner and Williams. In this paper, properties of the binomial-Eulerian polynomials, including recurrence relations and generating functions are studied. We present three constructive proofs of the recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials. Moreover, we give a combinatorial interpretation of the Betti number of the complement of the k-equal real hyperplane arrangement.

研究の動機と目的

• 二項Euler多項式の再帰的関係に対する構成的証明を提供すること。
• 問題1.2を、$\mathcal{Q}_n$ 上の降下統計量と上昇統計量を用いた双対的証明により、$\widetilde{A}_n(x)$ の対称性を解くこと。
• $k$-等しい実超平面配置の補集合のBetti数の組合せ的解釈を確立すること。
• 多変数二項Euler多項式の母関数を導出し、既知の直交多項式と関連付けること。

提案手法

• $\widetilde{A}_n(x)$ に対する再帰的関係を、指数型母関数と微分方程式を用いて導出すること。
• 組合せ論的および代数的技法を統合して、$\widetilde{A}_n(x)$ の再帰的関係に対する3つの異なる証明を構成すること。
• 置換における符号付きサイクル統計量と超過統計量をモデル化する多変数母関数 $\widetilde{A}(x,y,q;z)$ を導入すること。
• 母関数を用いて、$\widetilde{A}_n(x,1,-1,-1)$ と $\widetilde{A}_n(x,1,-1,1)$ に関する恒等式を導出し、それらをBetti数と関連付けること。
• $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$ 上のサイクル統計量の和として定義される多項式 $T_n(q)$ とCharlier多項式との間の関係を確立すること。
• $T_n(q)$ が直交Charlier多項式と関連付けられることを示し、$T_n(q)$ がすべての $n \geq 0$ に対して実数零点しか持たないことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{Q}_n$ 上の降下統計量と上昇統計量を用いて、二項Euler多項式 $\widetilde{A}_n(x)$ の対称性を双対的に証明できるか？
• RQ2 $k$-等しい実超平面配置の補集合のBetti数 $B(n,k)$ の組合せ的意味は何か？
• RQ3 多変数母関数は、二項Euler多項式の置換における符号付き統計量をどのように符号化するか？
• RQ4 サイクルカウント多項式 $T_n(q)$ と古典的直交多項式との関係は何か？
• RQ5 $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$ 上のサイクル統計量を用いて定義される多項式 $T_n(q)$ は、すべての実数零点を持つのか？

主な発見

• $\widetilde{A}_n(x)$ の再帰的関係は、3通りの異なる構成的手段で証明され、定理2.11では、$\mathcal{Q}_n$ 上の降下統計量と上昇統計量を用いた双対的証明により、$\widetilde{A}_n(x)$ の対称性が示される。
• Betti数 $B(n,k)$ は、$n-k$ 個の超過を持つ置換の集合 $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$ における符号付き和 $\sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} (-1)^{{\rm cyc}(\sigma)+{\rm aexc}(\sigma)}$ として組合せ的に解釈される。
• Betti数と指数型母関数を結ぶ恒等式 $\sum_{n \geq 0} B_n(x) \frac{z^n}{n!} = \frac{e^z + x e^{(2+x)z}}{1+x}$ が導出される。
• サイクルカウント多項式 $T_n(q) = \sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} q^{{\rm cyc}(\sigma)}$ は、再帰的関係 $T_{n+1}(q) = (n+1+q)T_n(q) - nT_{n-1}(q)$ を満たし、初期条件は $T_0(q) = q$, $T_1(q) = q + q^2$ である。
• 多項式 $T_n(q)$ が $(-1)^n q C_n^{(1)}(-q)$ に等しいことが示され、ここで $C_n^{(1)}(x)$ はCharlier多項式である。このことから、すべての $n \geq 0$ に対して $T_n(q)$ が実数零点しか持たないことが導かれる。
• 恒等式 $\sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} (-1)^{{\rm cyc}(\sigma)} = n-1$ が $n \geq 2$ に対して証明され、交代的サイクル和の閉形式評価が得られる。