[論文レビュー] Recurrence relations for orthogonal polynomials on a triangle

Sheehan Olver, Alex Townsend+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2018

Aerospace Engineering and Control Systems参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、三角形上の直交多項式、特にKoornwinderクラスIV多項式に対して、ラダー演算子を用いた体系的な枠組みを導入し、スパースな再帰関係を導出する。多項式をパラメータおよび次数の増減により他の多項式へ写像することで、スパースな線形代数を用いた偏微分方程式（PDE）のための効率的なスペクトル法が可能となり、常微分方程式（ODE）における超球多項式スペクトル法に類似する。

ABSTRACT

This paper derives sparse recurrence relations between orthogonal polynomials on a triangle and their partial derivatives, which are analogous to recurrence relations for Jacobi polynomials. We derive these recurrences in a systematic fashion by introducing ladder operators that map an orthogonal polynomial to another by incrementing or decrementing its associated parameters by one.

研究の動機と目的

• 直交多項式の再帰関係を体系的に導出する手法を開発すること。これは、ジャコビ多項式の再帰関係の構造を拡張することを目的とする。
• 標準的手法がスパarsityを欠くため、三角形領域における偏微分方程式（PDE）のスパーススペクトル離散化の課題に対処すること。
• 一変数から二変数直交多項式へラダー演算子技法を一般化すること。特に、三角形上におけるKoornwinder多項式を対象とする。
• 乗算、微分、多項式基底の変換に関する再帰関係を導出することで、スパースな線形代数を用いたPDEの効率的解法を可能とすること。

提案手法

• 二変数Koornwinder多項式のパラメータ（a, b, c, d）および次数（n, k）を±1ずつ増減する24個のラダー演算子を導入する。
• これらのラダー演算子を用いて、x, y, z（z = 1 - x - y）による乗算に関する再帰関係を、シフトされたKoornwinder多項式の形で導出する。
• ラダー演算子を組み合わせることで微分固有値問題を構築し、多項式が2階PDEの固有関数であることを示す。
• チェーンルールの恒等式を用いて、多項式の偏導関数をシフトされたジャコビ多項式の導関数で表現する。
• 再帰関係のスパarsityを活用し、ODEにおける超球多項式法に類似した、三角形領域におけるPDEのための効率的なスペクトル法を可能にする。
• 直角三角形からの結果を、直交多項式のアフィン不変性を用いて任意の三角形へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二変数直交多項式の再帰関係を、演算子に基づく手法を用いて、三角形上ですべて体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 パラメータがシフトされたKoornwinder多項式を用いた場合、x, y, zによる乗算に関する再帰関係の構造はどのように規定されるか？
• RQ3 ラダー演算子を用いて、これらの多項式が満たす微分固有値問題を導出できるか？
• RQ4 導出された再帰関係は、三角形領域におけるPDEのスパーススペクトル離散化をどのように可能にするか？
• RQ5 4番目のパラメータdは、これまで報告されていなかった再帰関係の体系的導出を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• ジャコビ多項式に対して12個のラダー演算子、二変数Koornwinder多項式に対して24個のラダー演算子を導出し、パラメータおよび次数のシフトを体系的に行うことが可能となった。
• x, y, zによる乗算に関するスパースな再帰関係が導出され、シフトされたパラメータを持つ少数の隣接する多項式項のみを含む。
• xおよびyに関する再帰関係は、それぞれパラメータ (a-1,b,c) および (a,b-1,c) を持つ最大4つの項を含み、明示的な係数が与えられている。
• 多項式が2つの2階微分作用素の固有関数であることが示され、固有値は -k(k+b+c+1) および -n(n+a+b+c+2) である。
• 二変数多項式の偏導関数は、チェーンルールの恒等式を用いて、シフトされたジャコビ多項式の導関数で表現される。
• この枠組みにより、スパースな線形代数を用いたPDEの効率的解法が三角形領域で可能となり、超球多項式スペクトル法が三角形領域へ一般化された。