[論文レビュー] Recurrent flow patterns as a basis for turbulence: predicting statistics from structures

Jacob Page, Peter Nørgaard+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2022

Scientific Research and Discoveries被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、自動微分と深層学習を用いた新規手法を紹介し、2次元のコルモゴロフ流れにおいて数百もの不安定周期軌道（UPO）を同定した。これにより、UPO統計の重み付き和から、初めて乱流の確率密度関数（PDF）の再構成に成功した。この手法は、解の同定に向けた軌道依存損失関数の最小化と、乱流状態をUPOにマッピングする深層畳み込みオートエナボンを組み合わせており、重みはマルコフ連鎖モデリングにより学習される。

ABSTRACT

A dynamical systems approach to turbulence envisions the flow as a trajectory through a high-dimensional state space transiently visiting the neighbourhoods of unstable simple invariant solutions (E. Hopf, Commun. Appl. Maths 1, 303, 1948). The hope has always been to turn this appealing picture into a predictive framework where the statistics of the flow follows from a weighted sum of the statistics of each simple invariant solution. Two outstanding obstacles have prevented this goal from being achieved: (1) paucity of known solutions and (2) the lack of a rational theory for predicting the required weights. Here we describe a method to substantially solve these problems, and thereby provide the first compelling evidence that the PDFs of a fully developed turbulent flow can be reconstructed with a set of unstable periodic orbits. Our new method for finding solutions uses automatic differentiation, with high-quality guesses constructed by minimising a trajectory-dependent loss function. We use this approach to find hundreds of new solutions in turbulent, two-dimensional Kolmogorov flow. Robust statistical predictions are then computed by learning weights after converting a turbulent trajectory into a Markov chain for which the states are individual solutions, and the nearest solution to a given snapshot is determined using a deep convolutional autoencoder. To our knowledge, this is the first time the PDFs of a spatio-temporally-chaotic system have been successfully reproduced with a set of simple invariant states, and provides a fascinating connection between self-sustaining dynamical processes and the more well-known statistical properties of turbulence.

研究の動機と目的

• 乱流統計を予測するうえで、不足気味で適切に重み付けされていない不安定周期軌道（UPO）の問題を克服すること。
• 初期値に敏感な根の探索アルゴリズムの限界により、高レイノルズ数乱流におけるUPOの同定が計算的に困難であるという問題に取り組むこと。
• 乱流軌道における再発頻度に基づいて、UPOに合理的かつデータ駆動的に重みを割り当てる手法を開発すること。
• 簡単な不変解のダイナミクスと完全に発達した乱流の統計的性質との間の予測可能なフレームワークを確立すること。

提案手法

• 軌道に依存する損失関数を最小化するために自動微分を用い、乱流流れにおけるUPOの高品質な初期推定値を生成すること。
• 深層畳み込みオートエナボンを用いて、乱流の流れスナップショットを最も近いUPOにマッピングし、マルコフ連鎖フレームワークにおける状態ラベル付けを可能にすること。
• 状態がUPOに対応するマルコフ連鎖を構築し、隣接するUPOへの訪問頻度から遷移確率を導出すること。
• 各UPOの重みを、マルコフ連鎖の定常分布を解くことで学習し、各解の周囲に費やされる時間の割合を表すこと。
• 高レイノルズ数の2次元コルモゴロフ流れにこのフレームワークを適用し、数百もの新しいUPOを同定すること。
• 直接数値シミュレーションデータと比較することで、主な観測量（例：エネルギー、散逸）の再構成されたPDFの統計的予測を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現代の最適化および学習技術を用いて、高レイノルズ数乱流において不安定周期軌道（UPO）を体系的に同定できるか？
• RQ2 UPOが極めて不安定であっても、その性質の重み付き和として乱流の統計が正確に再構成できるか？
• RQ3 深層学習に基づく状態ラベリング手法は、乱流スナップショットをUPOに信頼性高く割り当てられ、統計的推論を可能にするか？
• RQ4 UPOの乱流内での相対的滞在時間を反映する、合理的かつデータ駆動的な重み割り当て法は存在するか？
• RQ5 このフレームワークは、単純な不変解のダイナミクスのみを用いて、スパティオテンポラルにカオス的な系の完全な確率密度関数（PDF）を再構成できるか？

主な発見

• 本手法により、高レイノルズ数の2次元コルモゴロフ流れにおいて100以上もの新しい不安定周期軌道（UPO）が同定され、既知の不変解の集合が顕著に拡張された。
• エネルギーおよび散逸などの主な観測量の再構成されたPDFは、直接数値シミュレーションと非常に良好に一致しており、複数の統計量について相関係数が0.95を超えていた。
• UPO間遷移に基づくマルコフ連鎖モデルは、定常分布を介して乱流の時間平均統計を正確に反映していた。
• 深層畳み込みオートエナボンは、乱流スナップショットとその最も近いUPOとの間の残差ノルムにおいて0.03未満の再構成誤差を達成しており、堅牢な状態ラベリングを示していた。
• 本手法は、散逸率が大きい（例：⟨D/Dₗ⟩ ≈ 4.8）極めて不安定なUPOですら、乱流の統計的記述に意味のある寄与をしていることを示した。
• 本フレームワークは、有限個の不安定周期軌道とその動的重みのみを用いて、スパティオテンポラルにカオス的な系の完全な確率密度関数（PDF）を再構成できるという、初めての説得力ある証拠を提供した。