[論文レビュー] Recurrent Relations for Multiple of Triangular Numbers being Triangular Numbers

Vladimir Pletser|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、他の三角数の倍数である三角数に対する再帰的関係を導出し、任意の平方でない正の整数倍数kに対して無限に多くの解が存在することを示している。Pell方程式に基づく再帰的関係を確立し、閉形式の解を提示している。一方、kが平方の場合、解は有限であり、kの特定の値に依存する。

ABSTRACT

We search for triangular numbers that are multiples of other triangular numbers. It is found that for any positive non-square integer multiplier, there is an infinity of multiples of triangular numbers that are triangular numbers and recurrent relations are deduced theoretically. If the multiplier is a squared integer, there is either one or no solution, depending on the multiplier value.

研究の動機と目的

• 三角数T_ξが他の三角数T_tの整数倍kT_tであるようなすべての三角数T_ξを特定すること。
• kが平方でない正の整数である場合、解の列(t_n, ξ_n)の一般再帰的関係を導出すること。
• 比t_n/t_{n−r}の規則性に基づいて定義される「ランク」rの概念を導入し、解の列の構造を分析すること。
• kが完全平方である場合に解が存在する条件を特定し、kに応じて1つまたは解なしであることを示すこと。
• 定数係数を用いた線形再帰を用いて、t_n, ξ_n, T_t, T_ξの閉形式表現および再帰的関係を提示すること。

提案手法

• ディオファントス方程式T_ξ = kT_tを、x = 2ξ + 1およびy = 2t + 1とおくことで、一般化されたPell方程式x² − ky² = 1 − kに変換する。
• Pell方程式の理論を用いて、kが平方でない正の整数である場合に無限に多くの解が存在することを証明する。
• 「ランク」rを、比t_n / t_{n−r}が概ね一定または規則正しく減少する最小の整数として定義し、これにより2r次の再帰が可能になる。
• t_nおよびξ_nの再帰的関係X_n = 2(κ + 1)X_{n−r} − X_{n−2r} + κを導出する。ここでκ = t_r + t_{r−1} = ξ_r − ξ_{r−1} − 1である。
• 初期条件λ_{−1} = −1, λ_0 = 0, λ_1 = 1およびξ_0 = 0, ξ_1 = tを用いた補助列を用いて、λ_nおよびξ_nの再帰的関係を確立する。
• k = λ_n²のとき、k_n = λ_n²がT_ξ = kT_tの有効な解をもたらすことを証明し、λ_nが増加する際のk < 10⁴における解を表形式で提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方でない正の整数kのうち、T_ξが他の三角数T_tの倍数kT_tであるような三角数T_ξが無限に存在するものはどれか？
• RQ2 このようなkに対して、解の列(t_n, ξ_n)の構造は何か？また、再帰的関係で記述可能か？
• RQ3 「ランク」rを形式的に定義し、解の列に対して2r次の再帰的関係を導出するにはどうすればよいか？
• RQ4 kが完全平方である場合に解が存在する条件は何か？この場合、解はいくつ存在するか？
• RQ5 パrameter κおよびrを用いて、t_n, ξ_n, T_t, T_ξの閉形式再帰的関係を導出可能か？

主な発見

• 任意の正の平方でない整数kに対して、T_ξ = kT_tを満たす解(ξ, t)が無限に存在する。これは関連するPell方程式の可解性によって保証される。
• 解の列(t_n, ξ_n)は、rがランクでκが初期解ペアから導かれる定数である2次線形再帰X_n = 2(κ + 1)X_{n−r} − X_{n−2r} + κを満たす。
• k = λ_n²のとき、k_n = λ_n²は有効な解をもたらし、t = 1から6までの範囲で最初の5つのk_nおよびξ_nの値を表形式で提示した。このときk_nは平方数であり、t = 1のとき三角数である。
• kが完全平方である場合、解は特定のk値にのみ存在する。例えばk = 1, 36, 100, 196, 324, ... であり、各kに対して1つまたは解なしの解しか存在しない。これは表7で確認された。
• λ_nの再帰はλ_n = (4t + 2)λ_{n−1} − λ_{n−2}で与えられ、初期条件はλ_{−1} = −1, λ_0 = 0, λ_1 = 1である。ξ_nはξ_n = (4t + 2)ξ_{n−1} − ξ_{n−2} + 2tで与えられ、初期条件はξ_0 = 0, ξ_1 = tである。
• t = 1の場合、k_n = λ_n²の列はOEIS A001110（平方数かつ三角数である数）に対応し、ξ_nはOEIS A001108に対応する。