[論文レビュー] Recursions for Excedance number in some permutations groups

Eli Bagno, David Garber+2 more|ArXiv.org|Feb 15, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、対称群 $S_n$ における超過数のオイラー分布について、降下に基づく議論を避けて、超過数のみを用いた直接的な再帰的証明を提示する。この証明は、色付き置換群 $G_{r,n}$、特に超八面体群 $B_n$ にまで拡張される。また、第二種スターリング数との関係が確立され、変種の超過統計量に関する対数的凸性の性質が証明され、$G_{r,n}$ における超過の母関数が対称的であることが示され、すなわち $a_i = a_{rn-1-i}$ が成り立つ。

ABSTRACT

The excedance number for S_n is known to have an Eulerian distribution. Nevertheless, the classical proof uses descents rather than excedances. We present a direct recursive proof which seems to be folklore and extend it to the colored permutation groups G_r,n. The generalized recursion yields some interesting connection to Stirling numbers of the second kind. We also show some logconcavity result concerning a variant of the excedance number. Finally, we show that the generating function of the excedance number defined on G_r,n is symmetric.

研究の動機と目的

• 降下に基づく議論を避けて、$S_n$ における超過数のオイラー分布の直接的再帰的証明を、超過数のみを用いて行う。
• 古典的な再帰的構造を、色付き置換群 $G_{r,n} = \mathbb{Z}_r \wr S_n$、特に超八面体群 $B_n$ にまで拡張する。
• 超過数の再帰的構造と第二種スターリング数との間の関係を調査する。
• $G_{r,n}$ における超過統計量の変種について、対数的凸性の性質を確立する。
• $G_{r,n}$ における超過数の母関数が対称的であることを証明する。すなわち、$a_i = a_{rn-1-i}$ が成り立つこと。

提案手法

• 降下に基づく証明を避けて、$S_n$ における $k$ 個の超過をもつ置換の数について、超過数の直接的再帰式を導出する。
• 色順序付きアルファベットを用いて再帰を $G_{r,n}$ に一般化し、色順序 $1^{[r-1]} < \cdots < n^{[r-1]} < \cdots < 1 < \cdots < n$ を用いて超過を定義する。
• 超過数 $\mathrm{exc}(\pi)$ は、色順序の下で集合 $\{i \in [n] \mid \pi(i) > i\}$ のサイズとして定義される。
• $G_{r,n}$ 上に、$\pi$ の超過が $\pi'$ では非超過に、逆に $\pi'$ の超過が $\pi$ では非超過になるような双対写像 $\pi \mapsto \pi'$ を構成し、母関数の対称性を証明する。
• 対数的凸性の証明には、帰納法と再帰式の代数的変形を用い、$D_k^2 \geq D_{k-1}D_{k+1}$ の仮定に依存する。
• 第二種スターリング数との関係は、$G_{r,n}$ における一般化された再帰の構造から生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 降下や降下への双対写像に依存せずに、$S_n$ における超過数のオイラー分布の直接的再帰的証明を構築することは可能か？
• RQ2 $S_n$ における古典的な超過数の再帰的関係は、どのように色付き置換群 $G_{r,n}$ に一般化できるか？
• RQ3 $G_{r,n}$ における超過数の再帰的構造と、スターリング数の第二種のような組合せ的数との間にどのような関係があるか？
• RQ4 $G_{r,n}$ における超過統計量の変種について、対数的凸性の性質が成り立つのか。もし成り立つならば、どのような条件下で成り立つか？
• RQ5 $G_{r,n}$ における超過数の母関数は対称的か。すなわち、すべての $i \leq \lfloor (rn-1)/2 \rfloor$ に対して $a_i = a_{rn-1-i}$ が成り立つか？

主な発見

• 降下に基づく議論を避けて、$S_n$ における超過数分布の直接的再帰的証明が、超過数のカウントのみを用いて確立された。
• 再帰的構造は $G_{r,n}$ に成功裏に拡張され、特に超八面体群 $B_n = G_{2,n}$ を含む一般化された再帰関係が得られた。
• 一般化された再帰の構造から、第二種スターリング数との非自明な関係が明らかになった。
• 列 $D_k$ の対数的凸性を仮定することで、$G_{r,n}$ における超過統計量の変種について、対数的凸性の結果が証明された。
• $G_{r,n}$ における超過の母関数 $\sum_{\pi \in G_{r,n}} q^{\mathrm{exc}(\pi)}$ が対称的であることが示された。すなわち、$i \in \{1, \dots, \lfloor (rn-1)/2 \rfloor\}$ に対して $a_i = a_{rn-1-i}$ が成り立つ。
• $G_{r,n}$ 上に、超過と非超過を交換する明示的な双対写像 $\pi \mapsto \pi'$ が定義され、母関数の対称性の組合せ的証明が得られた。