[論文レビュー] Recursive computation of the invariant distributions of Feller processes: Revisited examples and new applications

Gilles Pagès, Clément Rey|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弱い平均回帰のもとで、Feller過程の不変分布をミルシュタインおよびオイラースキームを用いて再帰的確率的近似フレームワークに拡張する。テスト関数が多項式的および指数的成長を示す場合に、経験的測度が不変分布にほとんど確実に弱収束することを確立し、モーメントおよびドリフト条件のもとでウォッシャー形式収束および一様有界性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we show that the abstract framework developed in Pages & Rey (2017) and inspired by Lamberton & Pages (2002) can be used to build invariant distributions for Brownian diffusion processes using the Milstein scheme and for diffusion processes with censored jump using the Euler scheme. Both studies rely on a weakly mean reverting setting for both cases. For the Milstein scheme we prove the convergence for test functions with polynomial (Wasserstein convergence) and exponential growth. For the Euler scheme of diffusion processes with censored jump we prove the convergence for test functions with polynomial growth.

研究の動機と目的

• 打ち切りジャンプを有する拡散過程の不変分布を計算する再帰的アルゴリズムの開発を目的とする。
• 文書[21]の確率的近似フレームワークを非マルコフおよびジャンプ拡散設定に拡張することを目的とする。
• 弱い平均回帰のもとで、経験的測度が不変分布にほとんど確実に弱収束することを証明することを目的とする。
• 多項式的および指数的成長を示すテスト関数に対してウォッシャー距離における収束を確立することを目的とする。
• 再帰的スキームの有界性および収束速度を保証する条件を提供することを目的とする。

提案手法

• 時間に依存するステップサイズ（γn）を有する非時定的離散マルコフ過程を用い、連続時間のFeller過程を近似する。
• 重み付き経験的測度 νγn = (1/Γn)∑γkδXγΓk−1 を用いて、不変分布の再帰的近似を計算する。
• 拡散過程にはミルシュタインスキーム、打ち切りジャンプ拡散にはオイラースキームを用いる。
• ドリフトおよび拡散係数の条件（例：Bqp(φ), Rp,qp(α,β,φ,V)）を用いて弱い平均回帰を定式化する。
• バイアスと分散を制御するため、再帰的マルティンゲール型のアプローチを用いた確率的近似理論を適用する。
• 結合およびモーメント条件（例：H˜q(φ,V), SWI,γ,η）を用いて、重み付き和の可積分性および収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的確率的近似フレームワークは、打ち切りジャンプを有する拡散過程に拡張可能か？
• RQ2 弱い平均回帰のもとで、オイラースキームの経験的測度はほとんど確実に不変分布に収束するか？
• RQ3 指数的成長を示すテスト関数に対してウォッシャー距離における収束を保証する条件は何か？
• RQ4 モーメントおよびドリフト条件のもとで、経験的測度の有界性はどのように確立されるか？
• RQ5 多項式的および指数的テスト関数のもとで、再帰的スキームの収束速度は何か？

主な発見

• 多項式的成長を示すテスト関数に対して、重み付き経験的測度 νγn は不変分布 ν にほとんど確実に収束する。
• ミルシュタインスキームでは、指数的成長を示すテスト関数に対してウォッシャー距離における収束が成立する。
• 条件 LV および p/s + a − 1 > 0 のもとで、(νγn)n∈N∗ の有界性が確立される。
• νγ1 と ν 間の漸近的解析を必要とせず、再帰的スキームが収束することを示す。
• 関数 f = Aϕ に対して、収束速度および極限定理の正規分布型が導出され、[2]の結果が拡張される。
• SWI,γ,η および SWII,γ,η の仮定を用いて、スキームの安定性の十分条件が提供される。