[論文レビュー] Recursive decoding of Reed-Muller codes

Ilya Dumer|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Reed-Muller (RM) コードの再帰的ソフト・ハードデコーディングアルゴリズムを、Plotkin の $(u,u+v)$ 構成を用いてコードをより小さな構成コードに分解することによって提示する。端末ノード $\binom{j}{1}$ および $\binom{j}{j-1}$ で再帰的にデコーディングを行い、確率的手法による尤度再計算を実行することで、$O(n\log n)$ の複雑さを達成し、中程度および高レートのコードに対して最大 $d\ln d/2$ 個の誤りを訂正する近似的最適な誤り訂正性能を実現する。これは、従来手法に比べて顕著に優れている。

ABSTRACT

New soft- and hard decision decoding algorithms are presented for general Reed-Muller codes $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r} ight\} $ of length $2^{m}$ and distance $2^{m-r}$. We use Plotkin $(u,u+v)$ construction and decompose code $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r} ight\} $ onto subblocks $u\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r} ight\} $ and $v\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r-1} ight\} .$ In decoding, we first try to find a subblock $v$ from the better protected code and then proceed with the block $u$. The likelihoods of the received symbols are recalculated in a way similar to belief propagation. Thus, decoding is relegated to the two constituent codes. We repeat this recursion and execute decoding only at the end nodes $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{1} ight\} $ and $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{j-1} ight\} $. The overall complexity has low order of $n\log n.$ It is shown that this decoding substantially outperforms other algorithms of polynomial complexity known for RM codes. In particular, for medium and high code rates, the algorithm corrects most error patterns of weight $d\ln d/2.$

研究の動機と目的

• Reed-Muller コードの低複雑度デコーディングアルゴリズムを開発し、既存の多項式時間手法を改善すること。
• ソフトデシジョン指標と確率的尤度更新を活用することで、再帰的デコーディングをバウンデッドディスタンスデコーディングを超えて拡張すること。
• 特に短〜中程度のブロック長において、中・高レートのRMコードの誤り訂正性能を向上させること。
• ゼロ次元コードではなく、1次元および $(j-1)$ 次元コードを終端ノードとして使用することで、デコーディング終了ルールを最適化し、デコーディング容量を向上させること。
• 再帰的デコーディングに確率的尤度再計算を組み合わせることで、メジャリティデコーディングに近い性能を達成しつつ、低複雑度を維持できることを示すこと。

提案手法

• Plotkin の $(u,u+v)$ 構成を用いて、RM コード $\binom{m}{r}$ を再帰的に、部分コード $\binom{m-1}{r}$ および $\binom{m-1}{r-1}$ に分解する。
• 各再帰レベルで、信念伝播に類似した更新法を用いて、受信シンボルの尤度を再計算し、ソフト情報の伝搬を実現する。
• 実際のデコーディングは、端末ノード $\binom{j}{1}$（バイオрトゴナルコード）および $\binom{j}{j-1}$（単一パリティチェックコード）でのみ実行する。
• Pascalの三角形構造を持つRMコードの再帰的処理戦略を採用し、ルートから端末ノードへと進む。
• 情報ビットの除去（エクスパージュエーション）技術を適用し、最も保護の薄い情報ビット（例えば、左端の端末ノードから得られるもの）をゼロに設定することで、部分コードの性能を向上させる。
• デコーディング容量を定量化するために、ソフトデシジョン指標（例：二乗ユークリッド距離 $\rho^2$）およびハードデシジョンのしきい値 $t$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reed-Muller コードの再帰的デコーディングは、バウンデッドディスタンスデコーディングを越えて、より多くの誤りパターンを訂正可能か？
• RQ2 再帰の過程で確率的尤度再キャリブレーションを実施した場合、従来の再帰的アルゴリズムと比較してデコーディング性能にどのような影響を与えるか？
• RQ3 デコーディング容量と複雑さの観点から、再帰的デコーディングの最適な停止ルールは何か？
• RQ4 情報ビットの除去による部分コード最適化は、ブロック誤り率性能を顕著に向上させ得るか？
• RQ5 本アルゴリズムの誤り訂正容量は、メジャリティデコーディングおよび従来の再帰的手法と比較して、定量的にどのように異なるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは $O(n\log n)$ の複雑さを達成し、従来の再帰的アルゴリズム（$O(n\min(r,m-r))$）に比べて顕著に低い。
• 中程度および高レートのコードでは、本アルゴリズムは最大 $d\ln d/2$ 個の誤りパターンを訂正可能であり、従来の再帰的アルゴリズムのデコーディング容量を倍増させる。
• 長さ512の $\binom{9}{4}$ コードのシミュレーションにおいて、本新規再帰的デコーディングは4 dB SNRでブロック誤り率 $2\times10^{-4}$ を達成し、従来の再帰的およびメジャリティデコーディング手法を上回った。
• 最も保護の薄い情報ビット（左端の端末ノードから得られるもの）を除去することで、4 dBでブロック誤り率が $2\times10^{-4}$ に低下し、顕著な性能向上が確認された。
• ゼロ次元コードではなく、1次元および $(j-1)$ 次元コードを終端ノードとして使用することで、従来の再帰的アルゴリズムに比べてより高いデコーディング容量が実現可能である。
• ソフトデシジョン性能（$\rho^2$ で測定）は、メジャリティデコーディングおよび従来の再帰的手法を上回っており、特に固定レートコードにおいて顕著である。