[論文レビュー] Recursive Fermion System in Cuntz Algebra. II -- Endomorphism, Automorphism and Branching of Representation --

Mitsuo Abe, Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Jul 1, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、CAR代数をCuntz代数$\mathcal{O}_{2^p}$に埋め込むことにより、明示的な*-自己準同型および*-自己同型を構成し、フェルミオン系の体系的解析を可能にする。KMS状態が偶数-CAR自己準同型がフォック表現に作用することによって生じることを示し、フォック真空を保存するが粒子数を変化させる非線形*-自己同型からなる1パラメータ群を同定する。これは非準自由なダイナミクスを示唆する。

ABSTRACT

Based on an embedding formula of the CAR algebra into the Cuntz algebra ${\mathcal O}_{2^p}$, properties of the CAR algebra are studied in detail by restricting those of the Cuntz algebra. Various $\ast$-endomorphisms of the Cuntz algebra are explicitly constructed, and transcribed into those of the CAR algebra. In particular, a set of $\ast$-endomorphisms of the CAR algebra into its even subalgebra are constructed. According to branching formulae, which are obtained by composing representations and $\ast$-endomorphisms, it is shown that a KMS state of the CAR algebra is obtained through the above even-CAR endomorphisms from the Fock representation. A $U(2^p)$ action on ${\mathcal O}_{2^p}$ induces $\ast$-automorphisms of the CAR algebra, which are given by nonlinear transformations expressed in terms of polynomials in generators. It is shown that, among such $\ast$-automorphisms of the CAR algebra, there exists a family of one-parameter groups of $\ast$-automorphisms describing time evolutions of fermions, in which the particle number of the system changes by time while the Fock vacuum is kept invariant.

研究の動機と目的

• CAR代数の適切な*-自己準同型を、代数の無限次元性を活用して線形でない形で体系的に構成すること。
• これらの自己準同型によって誘導される表現の分岐を記述し、可約表現や混合状態の構成を可能にすること。
• ボゴリューボフ変換でない外部*-自己同型の枠組みを構築し、フェルミオン系における非準自由な時間発展を明らかにすること。
• Fock表現を用いて偶数-CAR自己準同型を経由することで、CAR代数のKMS状態を導出できることを示すこと。
• 粒子数の変化を許容するがフォック真空を保存する1パラメータ群の*-自己同型による時間発展を同定すること。

提案手法

• RFS（再帰的フェルミオン系）を用いてCAR代数をCuntz代数$\mathcal{O}_{2^p}$に埋め込み、$\mathcal{O}_d$代数の既知の埋め込み公式を活用する。
• $\mathcal{O}_{2^p}$の*-自己準同型を、埋め込みと自己準同型の関係を用いて明示的に構成し、それをCAR代数に制限する。
• irreducible置換表現の$\mathcal{O}_{2^p}$との合成により分岐公式を導出し、irreducible CAR表現の直和を得る。
• $\mathcal{O}_{2^p}$上の$U(2^p)$作用を用いて、生成・消滅演算子における非線形多項式変換を介し、CAR代数の*-自己同型を誘導する。
• これらの非線形自己同型から1パラメータ群の*-自己同型を構成し、フォック真空を保存するが時間に依存する粒子数変化を許容することを示す。
• Fock表現における切り捨てられた$n$-点関数を計算し、線形ダイナミクスを越えた非自明な相関構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAR代数の適切な*-自己準同型を、線形（ボゴリューボフ）変換を超えて体系的に構成可能か？また、Cuntz代数の構造とどのように関係するか？
• RQ2 自己準同型によって誘導される分岐公式は、フェルミオン系における可約表現や混合状態をどのように導くか？
• RQ3 フォック真空を保存するが時間とともに粒子数を変化させる非線形*-自己同型の物理的意味は何か？
• RQ4 偶数-CAR自己準同型を用いてFock表現からCAR代数のKMS状態をどのように導出できるか？
• RQ5 切り捨てられた非自明な$n$-点関数は、非線形時間発展下でのフェルミオンのダイナミクスについて何を明らかにするか？

主な発見

• CAR代数からその偶数部分代数への*-自己準同型の集合が明示的に構成され、これらの写像が全射でなく非線形であることが示された。
• Fock表現と偶数-CAR自己準同型の合成により、CAR代数のKMS状態が得られ、自己準同型と熱平衡状態との間の関係が確認された。
• フォック真空を保存するが時間とともに粒子数が変化する時間発展を記述する1パラメータ群の*-自己同型が同定された。
• 非ゼロの切り捨てられた4点関数やそれ以上の相関関数が存在することから、時間発展が非線形であることが示され、系は（準）自由でないことが判明した。
• たとえば$\omega_{\rm T}(a_1(t_1)a_2(t_2)a_1^*(t_3)a_2^*(t_4)) = \sin(\theta_2 - \theta_3)\sin(\theta_3 - \theta_4)$のような切り捨てられた4点関数は、ガウス統計を越えた非自明な相関を示している。
• 非ゼロの切り捨てられた5点および6点関数が得られ、非線形時間発展における高次相関の存在が確認された。