[論文レビュー] Recursive quantum algorithm to find the lowest eigenstate of a general Hamiltonian

Jeongho Bang, Seung-Woo Lee+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本論文では、任意の初期状態における最低固有状態成分をアダルティ・キュービットを用いて反復的に増幅することで、任意のハミルトニアンに対して基底状態を忠実に準備可能な再帰的量子アルゴリズムを提案する。この手法は、合計反復回数が 𝒪(D⁻¹ε⁻⁰.¹⁹) に比例するスケーリングで収束を達成する。ここで D はエネルギーギャップ、ε は誤差確率を表す。

ABSTRACT

We propose a quantum algorithm to obtain the lowest eigenstate of any Hamiltonian simulated by a quantum computer. The proposed algorithm begins with an arbitrary initial state of the simulated system. A finite series of transforms is iteratively applied to the initial state assisted with an ancillary qubit. The fraction of the lowest eigenstate in the initial state is then amplified up to $\simeq 1$. We prove that our algorithm can faithfully work for any arbitrary Hamiltonian in the theoretical analysis. Numerical analyses are also carried out. We firstly provide a numerical proof-of-principle demonstration with a simple Hamiltonian in order to compare our scheme with the so-called Demon-like algorithmic (DLAC), recently proposed in [Nature Photonics 8, 113 (2014)]. The result shows a good agreement with our theoretical analysis, exhibiting the comparable behavior to the best cooling with the DLAC method. We then consider a random Hamiltonian model for further analysis of our algorithm. By numerical simulations, we show that the total number $n_c$ of iterations is proportional to $\simeq {\cal O}(D^{-1}\epsilon^{-0.19})$, where $D$ is the difference between the two lowest eigenvalues, and $\epsilon$ is an error defined as the probability that the finally obtained system state is in an unexpected (i.e. not the lowest) eigenstate.

研究の動機と目的

• スペクトルに関する事前知識が不要な、任意のハミルトニアンの最低固有状態を準備する汎用量子アルゴリズムの開発。
• DLAC（ドゥーマン・ライク・アルゴリズム的冷却）のような既存手法の制限を克服し、一般のハミルトニアンに広く適用可能にする。
• 1つのアダルティ・キュービットを用いて反復的増幅により基底状態成分を強化することで、高精度な基底状態準備を実現する。
• 理論的および数値的検証を通じて、エネルギーギャップ D および誤差 ε に対する収束行動とスケーリングの妥当性を検証する。

提案手法

• アルゴリズムは、システムキュービットの任意の初期量子状態と、スーパポジション状態に準備されたアダルティ・キュービットで始まる。
• 制御ユニタリ操作のシーケンスが適用され、システムとアダルティ・キュービットをエンタングルさせ、測定とフィードバックによって基底状態成分へのプロジェクションが行われる。
• このプロセスは反復的に繰り返され、各サイクルでエネルギーギャップ D に依存する再帰的変換により、最低固有状態の振幅が増幅される。
• 主要な変換は、システム状態のエネルギーに応じた条件付き位相反転であり、時間発展演算子 U を用いた制御-U 操作によって実装される。
• 再帰的構造により基底状態の振幅が強化され、各反復でターゲット状態との重なりが増加する。
• 理論的解析により、任意のハミルトニアンに対して基底状態への収束が保証され、数値シミュレーションによりスケーリング行動が検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルに関する事前知識がなくても、再帰的量子アルゴリズムが任意のハミルトニアンの基底状態を効率的に準備できるか？
• RQ2 2つの最低固有状態間のエネルギーギャップ D に依存して、アルゴリズムの収束速度はどのように変化するか？
• RQ3 最終状態の忠実度における目標誤差 ε と反復回数の関係は何か？
• RQ4 シンプルなモデルハミルトニアンに対して、アルゴリズムはドゥーマン・ライク・アルゴリズム的冷却（DLAC）法と比較してどの程度の性能を示すか？
• RQ5 ランダムハミルトニアンに対する合計反復回数の数値的スケーリング行動は何か？

主な発見

• シンプルなモデルハミルトニアンに対する数値シミュレーションにより、本アルゴリズムは高い忠実度で最低固有状態を正しく準備できることを確認した。
• シンプルなモデルにおいて、本アルゴリズムはドゥーマン・ライク・アルゴリズム的冷却（DLAC）法の最良性能と同等の収束行動を示した。
• ランダムハミルトニアンに対する数値シミュレーションから、合計反復回数 𝑛𝑐 が 𝒪(D⁻¹ε⁻⁰.¹⁹) に比例することが判明した。ここで D はエネルギーギャップ、ε は誤差確率を表す。
• ε⁻⁰.¹⁹ のスケーリング指数は、最適でないが実現可能である収束速度を示しており、さらなる最適化の余地があることを示唆している。
• 多様なハミルトニアン構造に対しても、本手法は忠実度と収束性を維持しており、一般のハミルトニアンに対して汎用性があることを確認した。
• 理論的解析により、スペクトル構造に依存せず、任意のハミルトニアンに対して本アルゴリズムが正確に動作することが保証された。