[論文レビュー] Recursive Representations of Arbitrary Virasoro Conformal Blocks

Minjae Cho, Scott Collier+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の genus と外部オペレーター数をもつ球面およびトーラス上の任意の Virasoro conformal block に対する再帰的表現を提示する。中心電荷 $c$ および内部重量 $h_i$ における解析接続を活用することで、$c$-および $h$-再帰関係を導出し、大 $c$ や大 $h$ の極限において、複雑なブロックをより単純な global $SL(2)$ ブロックに還元する。これにより、あらゆるチャネルおよびトポロジーにおいて、効率的な再帰的評価が可能になる。

ABSTRACT

We derive recursive representations in the internal weights of N-point Virasoro conformal blocks in the sphere linear channel and the torus necklace channel, and recursive representations in the central charge of arbitrary Virasoro conformal blocks on the sphere, the torus, and higher genus Riemann surfaces in the plumbing frame.

研究の動機と目的

• 任意の genus および外部オペレーター数をもつリーマン面における Virasoro conformal block の計算を効率的に行うための完全な再帰関係の構築。
• 4点関数に限らない既存の $c$-および $h$-再帰法を、球面およびトーラス上の $N$-点ブロックへ一般化すること。
• 中心電荷 $c$ および内部重量 $h_i$ における解析接続を通じて、トーラスのネックレスチャネルと球面の線形チャネルの両方における conformal block の統一的取り扱い。
• プラグミング構成およびペア・オブ・パンツ分解を用いた、高 genus conformal block の体系的フレームワークの確立。

提案手法

• 中心電荷 $c$ における解析接続を用い、内部表現が退化する際に生じる極を特定。その留数は、シフトされた $c$-値におけるブロックに比例する。
• N-点ブロックの $c \to \infty$ における極限を同定：球面 $N$-点ブロックは global $SL(2)$ ブロックに還元され、トーラス $N$-点ブロックは真空キャラクターと global $SL(2)$ ブロックの積に還元される。
• $c$-再帰を導出。conformal block を $c$ に関するメロモーフィック関数として表現し、退化表現の閾値で極をもち、普遍的な留数係数を持つ。
• 有限差分 $h_i - h_j$、$h_i - d_1$、$h_i - d_N$ を保ったまま大内部重量極限をとることで、球面 $N$-点ブロックの線形チャネルおよびトーラス $N$-点ブロックのネックレスチャネルにおける $h$-再帰を確立。
• Ward 恒等式およびノルム状態を含む 3 点関数の因子分解を用い、退化重量におけるブロックを、既知の融合多項式をもつ低レベルのブロックに関連付ける。
• プラグミング構成およびペア・オブ・パンツ分解を適用し、任意の genus $g$ のリーマン面への再帰の一般化を実現。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $c$-再帰を、あらゆるチャネルにおける球面およびトーラス上の $N$-点 Virasoro conformal block に一般化できるか？
• RQ2 ネックレスチャネルにおけるトーラス $N$-点ブロックの大きな内部重量極限の振る舞いは何か？ そして、これにより $h$-再帰がどのように可能になるか？
• RQ3 球面 $N$-点ブロックの $h$-再帰は、Zamolodchikov の元々の 4 点関数 $h$-再帰とどのように異なるか？ どのような新しい極限が必要か？
• RQ4 退化表現を含む 3 点関数の因子分解を用いて、任意の $N$-点ブロックの再帰関係を体系的に導出できるか？
• RQ5 プラグミング構成を用いて、再帰フレームワークを高 genus リーマン面へどのように拡張できるか？

主な発見

• $c$-再帰関係は、あらゆるチャネルにおける球面およびトーラス上の $N$-点ブロックに成功裏に一般化され、たとえば三重ファンクター・チャネルにおける球面 6 点ブロックや、OPE チャネルにおけるトーラス 2 点ブロックといったブロックの再帰的評価を可能にする。
• 球面 $N$-点ブロックの $c \to \infty$ 極限は、対応する global $SL(2)$ ブロックに還元される。一方、トーラス $N$-点ブロックは、真空キャラクターと global $SL(2)$ ブロックの積に還元される。
• $h$-再帰の鍵となる洞察は、同時に $h_i \to \infty$ にしたまま $h_i - h_j$、$h_i - d_1$、$h_i - d_N$ を有限に保つ極限であり、これによりネックレスブロックが非退化トーラスキャラクターに単純化される。
• 球面 $N$-点ブロックの線形チャネルにおける $h$-再帰は、すべての内部重量および外部重量 $d_1$、$d_N$ を直線上で無限大に、有限の差を保ったまま退化極限をとるものであり、Zamolodchikov の 4 点関数アプローチとは明確に異なる。
• プラグミング構成およびペア・オブ・パンツ分解を用いることで、高 genus リーマン面における $c$-再帰の完全なレシピが提供され、任意の genus $g$ へ拡張可能である。
• ノルム状態を含む 3 点関数の因子分解により、普遍的な融合多項式 $P^{rs}\begin{bmatrix}d_2\\ d_1\end{bmatrix}$ が得られ、これは $c$-および $h$-再帰における極の留数構造の係数として機能する。