[論文レビュー] Reduced-basis method for the iterative solution of parametrized symmetric positive-definite linear systems

Ngoc Cuong Nguyen, Yanlai Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、パrameter化された対称正定値（SPD）線形系を、低次元の部分空間を構築するためのグリーディー・アルゴリズムを用いて、効率的に解くための新しい低次元基底（RB）法を提案する。この部分空間は、単独の反復解法としてまたは共役勾配（CG）法における前処理子として用いることができる。本手法は、多重グリッド前処理付きCGと同等の収束速度を達成するが、反復ごとの計算コストが著しく低いため、多重グリッドがメモリ制約や時間制約により実用的でない大規模問題に対しても有効である。

ABSTRACT

We present a class of reduced basis (RB) methods for the iterative solution of parametrized symmetric positive-definite (SPD) linear systems. The essential ingredients are a Galerkin projection of the underlying parametrized system onto a reduced basis space to obtain a reduced system; an adaptive greedy algorithm to efficiently determine sampling parameters and associated basis vectors; an offline-online computational procedure and a multi-fidelity approach to decouple the construction and application phases of the reduced basis method; and solution procedures to employ the reduced basis approximation as a {\em stand-alone iterative solver} or as a {\em preconditioner} in the conjugate gradient method. We present numerical examples to demonstrate the performance of the proposed methods in comparison with multigrid methods. Numerical results show that, when applied to solve linear systems resulting from discretizing the Poisson's equations, the speed of convergence of our methods matches or surpasses that of the multigrid-preconditioned conjugate gradient method, while their computational cost per iteration is significantly smaller providing a feasible alternative when the multigrid approach is out of reach due to timing or memory constraints for large systems. Moreover, numerical results verify that this new class of reduced basis methods, when applied as a stand-alone solver or as a preconditioner, is capable of achieving the accuracy at the level of the {\em truth approximation} which is far beyond the RB level.

研究の動機と目的

• パラメトリックPDEに由来するパrameter化された対称正定値（SPD）線形系の反復的解法に特化した低次元基底（RB）法の開発を目的とする。
• 設計、最適化、不確実性定量化において多数のパrameter値に対して繰り返し同様の線形系を解くという計算上のボトルネックを解消することを目的とする。
• オフライン・オンライン計算手順を用いて、オフラインにおけるRB構築とオンラインにおける解法適用を分離することを目的とする。
• RB近似が単独の反復解法として機能することと、CG法における効果的な前処理子としての機能を両立させることを目的とする。
• RB空間の内在的分解能を超えて、真値近似レベルの高い精度を維持できることを示すこと。

提案手法

• パラメトリック系を低次元基底（RB）空間にガラーキン射影することで、より小さい次元の縮小線形系を形成する。
• 適応的グリーディー・アルゴリズムにより、サンプリングパラメータと関連する解スナップショットを選択し、誤差の急速な減少を保証する形でRB空間を効率的に構築する。
• オフライン・オンライン分解を実装する：オフラインではRB空間と関連する作用素が構築され、オンラインでは僅かに縮小された系のみが解かれる。
• RB近似は、単独の反復解法（RBI）としてまたは共役勾配（RBCG）法における前処理子として使用される。
• 構築段階と適用段階を分離するためのマルチフィデリティ・アプローチが採用され、計算効率が向上する。
• 後験的誤差推定器により、RB解の真値近似解に対する精度が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリックSPD線形系に対して、低次元基底法が反復解法または前処理子として効果的に適応可能かどうか。
• RQ2 RBに基づく反復法の収束速度は、古典的な多重グリッド前処理付きCGと比較して、反復回数の観点でどの程度か。
• RQ3 RBに基づくスキームの反復ごとの計算コストは、多重グリッド前処理付きCGと比較してどの程度か。この差が全体の効率に与える影響は。
• RQ4 RB次元を増加させることで、異なるパラメータ値において収束速度とロバスト性がどの程度向上するか。
• RQ5 低次元部分空間を用いても、真値近似と同等の高い精度をRBベースの手法が維持できるか。

主な発見

• ポアソン方程式の離散化において、RBに基づく手法は多重グリッド前処理付きCGと同等またはそれ以上の収束速度を達成し、反復回数も同程度またはそれ以下である。
• RBスキームの反復ごとの計算コストは、多重グリッド前処理付きCGよりも著しく低く、合計の解法時間は桁違いに速くなる。
• 1次元のRB空間でさえ、標準的なCGと比較して反復回数を半分に削減でき、5次元のRBでは反復回数が1/10にまで低下する。
• 単独の解法（RBI）としてまたは前処理子（RBCG）として適用した場合、RB空間の名目上の分解能を超えて、真値近似レベルの精度を達成している。
• 200万以上の自由度を有する大規模系においても、RBCG法は効率的かつスケーラブルであるが、多重グリッドは複数の制限/拡大作用素に起因するメモリおよび計算複雑性の制約により実用的でなくなる。
• RB次元を増加させることで、RBベースのスキームの収束性能は単調に向上し、パラメータサンプル全体を通じて平均ステップ数が減少することが示された。