[論文レビュー] Reduced norms and the Riemann-Roch theorem for Abelian varieties

Nathan Grieve|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、主に極化されたアーベル多様体（ppav）上の除数に対するリーマン・ロッホ定理と、自己準同型代数成分の縮約ノルムの間の明確な関係を確立する。自己交差数 $ D^g/g! $ が、$ \lambda $-固定自己準同型代数上の同次多項式関数 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ の平方に一致することを示し、ここで $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $ である。これにより、自己準同型代数の代数的不変量を用いて交差数の明示的公式が得られる。

ABSTRACT

We explain how the Riemann-Roch theorem for divisors on an abelian variety $A$ is related to the reduced norms of the Wedderburn components of $\operatorname{End}^0(A)$ the $\mathbb{Q}$-endomorphism algebra of $A$. We then describe consequences and examples.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上の除数に対するリーマン・ロッホ定理と自己準同型代数 $ \mathrm{End}^0(A) $ 内の縮約ノルムとの関係を明確化すること。
• 交差数 $ D^g/g! $ と $ \mathrm{End}^0(A) $ の代数的構造、特にウェダーバルン成分との明示的関係を明らかにすること。
• ppav に対して、$ \mathrm{pNrd}_\lambda $ を用いた $ D^g/g! $ の明示的公式を提供すること。
• 特に四元数代数の積に対して、具体例における多項式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ の計算と解釈を行うこと。

提案手法

• 本稿は、非同型な単純な $ A_i $ を用いた分解 $ A \simeq \prod A_i^{r_i} $ を用い、これによりウェダーバルン分解 $ R = \mathrm{End}^0(A) \simeq \prod R_i $、$ R_i \simeq M_{r_i}(\Delta_i) $ を得る。
• 各単純成分から縮約ノルム $ \mathrm{Nrd}_{R_i/\mathbb{Q}} $ を定義し、$ \mathrm{End}^0_\lambda(A) $ 上の $ g $ 次の正規化された同次多項式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $ を構成する。
• ロザティ対合 $ r_\lambda $ を用いて $ \mathrm{NS}(A) \simeq \mathrm{End}_\lambda(A) $ を特定し、除数類 $ D $ を $ \alpha \in \mathrm{End}_\lambda(A) $ に写像する。
• 中心単純代数における縮約ノルムとトレースの理論を用いて、基本的公式 $ \frac{(D^g)}{g!} = \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ を導出する。
• 特に $ R = M_2(\mathcal{K}) $ で $ \mathcal{K} $ が四元数代数である場合に、分解体と行列表現を用いた明示的計算を行う。
• 交差数 $ D_1 \cdot D_2 $ は、多項式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $ から誘導される双一次形式を用いて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ppav に対して、リーマン・ロッホ数 $ D^g/g! $ は $ \mathrm{End}^0(A) $ の代数的構造とどのように関係するか？
• RQ2 自己交差数 $ D^g/g! $ は、自己準同型 $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $ の多項式関数として表現可能か？
• RQ3 ウェダーバルン成分の縮約ノルムを用いて、多項式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ の明示的形は何か？
• RQ4 行列表現 $ \Phi_\lambda(D_1) $ と $ \Phi_\lambda(D_2) $ から、代数的に交差数 $ D_1 \cdot D_2 $ をどのように計算できるか？
• RQ5 除数 $ D $ のインデックス $ i(D) $ は、$ \alpha = \Phi_\lambda(D) $ の係数によってどのような条件下で決まるか？

主な発見

• 分解 $ A = \prod A_i^{r_i} $ を持つ ppav $ A $ に対して、リーマン・ロッホ数は $ \frac{(D^g)}{g!} = \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ を満たす。ここで $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $ である。
• 関数 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $ は $ \mathrm{End}^0_\lambda(A) $ 上の $ g $ 次の同次多項式であり、単位元で値 1 をとるように正規化されている。
• $ E^{\times 2} $ で $ E $ がCM楕円曲線である場合、$ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) = -w^2ab + z^2b + y^2a + uv - x^2 $ となる。ここで $ \alpha $ は四元数代数の元を成分にもつ $ 2\times 2 $ 行列である。
• 交差数 $ D_1 \cdot D_2 $ は、$ \mathrm{pNrd}_\lambda $ の双一次形式から得られ、$ 2w_1w_2ab + 2z_1z_2b + 2y_1y_2a + u_1v_2 + u_2v_1 - 2x_1x_2 $ に等しい。
• 除数 $ D $ のインデックス $ i(D) $ は、$ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ の符号とトレース $ u+v $ によって決まり、これらの量の符号に応じて $ i(D) = 0, 1, $ または $ 2 $ となる。
• 正標数でも、$ \mathrm{End}^0(A) $ が $ \mathbb{Q} $-代数として半単純に実現される限り、公式 $ \frac{(D^g)}{g!} = \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ は成り立つ。