[論文レビュー] Reduced norms of division algebras over complete discrete valuation fields of local-global type

Yong Hu|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正の特性 p の体 k を残渣体とする完全な離散付値体 F に対して、p の冪次数の中心的単純 F-代数 D のロスト不変量が、D が滑らかに分岐している場合または周期が p の場合に、単射であることを確立する。この結果は、最近のパルマラ、プリティ、シュレイシュによる、p と互いに素な次数の代数に関する定理の p- torsion の類似を与え、Galois 紹介および局所-大域体上のノルム原理を用いる。

ABSTRACT

Let $F$ be a complete discrete valuation field whose residue field $k$ is a global field of positive characteristic $p$. Let $D$ be a central division $F$-algebra of $p$-power degree. We prove that the subgroup of $F^*$ consisting of reduced norms of $D$ is exactly the kernel of the cup product map $\lambda\in F^*\mapsto (D)\cup(\lambda)\in H^3(F,\,\mathbb{Q}_{p}/\Z_{p}(2))$, if either $D$ is tamely ramified or of period $p$. This gives a $p$-torsion counterpart of a recent theorem of Parimala, Preeti and Surech, where the same result is proved for division algebras of prime-to-$p$ degree.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、正の特性の体を残渣体とする完全な離散付値体上の中心的単純代数について、ロスト単射性定理を p-主成分の場合に拡張することである。
• 本稿は、このような体上の p-冪次数の中心的単純代数における縮約ノルムの構造を調査する。
• 本研究は、Galois 紹介およびカトウ–ミルン紹介の文脈において、縮約ノルムの局所-大域原理を扱う。
• 本稿は、最近のパルマラ、プリティ、シュレイシュによる、p と互いに素な次数の代数に関する結果の p- torsion の類似を確立することを目的とする。
• 目的には、D が滑らかに分岐しているか周期が p の場合に、H³(F, ℚ_p/ℤ_p) 内のカップ積写像 (D) ∪ (λ) の核が、縮約ノルム群 Nrd(D*) に一致することを証明することを含む。

提案手法

• 著者たちは、Galois 紹介および λ ↦ (D) ∪ (λ) で定義される F* → H³(F, ℤ/pⁿ(2)) のカップ積写像を用い、その核が縮約ノルム群である。
• 彼らは、Galois 紹介におけるカップ積を用いて構成される、RD: F*/Nrd(D*) → H³(F, ℤ/pⁿ(2)) というロスト不変量写像を適用する。
• 証明は、特性 p の体 k に対する Kato–Milne 紹介群 H^{r+1}(k, ℤ/p^m(r)) に依存しており、これは p-主成分設定における Galois 紹介を一般化する。
• パッチング技法およびノルム原理からの技術的結果が用いられ、特に完備化および局所体上の代数の挙動の分析に特化している。
• 彼らは、L/k の体拡張および ξ ∈ L* に対して NL/k(ξ) = θ を満たすような構成を用いる。この構成は、特定のコhomological 条件を満たす。
• 彼らは、局所-大域原理および局所体のアーベル拡張におけるノルムの性質を用いて、このような拡張および要素の存在を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性の体を残渣体とする完全な離散付値体上での p-冪次数の中心的単純代数 D に対して、ロスト不変量 RD は単射のままであるか？
• RQ2 このような代数に対して、RD の単射性は滑らかに分岐している場合に確立できるか？
• RQ3 代数の周期が p であっても、滑らかに分岐していない場合でも、ロスト不変量は単射か？
• RQ4 H³(F, ℚ_p/ℤ_p) 内のカップ積写像 λ ↦ (D) ∪ (λ) の核は、p-主成分の場合に、縮約ノルム群 Nrd(D*) と一致するか？
• RQ5 p-主成分のケースは、周期 p または滑らかに分岐している代数に限らず、すべての p-冪次数の単純代数に拡張可能か？

主な発見

• D が滑らかに分岐している場合、中心的単純 F-代数 D に対してロスト不変量 RD は単射である。
• D の周期が p であっても、D が滑らかに分岐していない場合でも、ロスト不変量 RD は単射である。
• 滑らかに分岐している場合および周期 p の場合の両方において、H³(F, ℚ_p/ℤ_p) 内のカップ積写像 λ ↦ (D) ∪ (λ) の核は、正確に縮約ノルム群 Nrd(D*) に一致する。
• 証明は、局所体上のノルム条件を満たす体拡張および要素の構成に依存しており、Galois 紹介におけるコアストリクションおよびノルム写像の性質を用いる。
• この結果は、最近のパルマラ、プリティ、シュレイシュによる、局所体上の1変数関数体上の p と互いに素な次数の代数に関する定理の p- torsion の類似を与える。
• 著者たちは、F の完備化 ˆF における RD の単射性が F における単射性を示すことを示しており、H¹ 群に関するグリーンバーグの定理を用いる。