[論文レビュー] Reduced Order Modeling of Diffusively Coupled Network Systems: An Optimal Edge Weighting Approach

Xiaodong Cheng, Lanlin Yu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、拡散結合ネットワーク系の低次元モデル化のための最適エッジ重み付け手法を提案する。与えられたグラフクラスタリングのもと、商ネットワーク内のエッジ重みを反復的アルゴリズムにより調整することで、近似誤差の $\mathcal{H}_{2}$-ノルムを最小化する。この手法は、クラスタリングに基づく射影法よりも精度を41.93%向上させ、14ノードのセンサーネットワーク例において最終的な誤差を0.0187にまで低減した。また、ネットワーク構造を保持している。

ABSTRACT

This paper studies reduced-order modeling of dynamic networks with strongly connected topology. Given a graph clustering of an original complex network, we construct a quotient graph with less number of vertices, where the edge weights are parameters to be determined. The model of the reduced network is thereby obtained with parameterized system matrices, and then an edge weighting procedure is devised, aiming to select an optimal set of edge weights that minimizes the approximation error between the original and the reduced-order network models in terms of H2-norm. The effectiveness of the proposed method is illustrated by a numerical example.

研究の動機と目的

• クラスタリングに基づく既存のモデル低減手法がクラスタ形成後に低次元モデルを固定してしまうという限界に対処すること。これにより、エッジ重みの最適化による精度向上の可能性が無視される。
• 低次元モデル化問題を、商ネットワーク内のエッジ重みを自由パラメータとして最適化する最適化問題として定式化すること。
• 元のネットワークモデルと低次元モデルとの間の近似誤差の $\mathcal{H}_{2}$-ノルムを最小化すること。
• 非凸な最適化問題に含まれる双線形行列不等式（BMI）制約を扱える計算的に実行可能なアルゴリズムを開発すること。
• 標準的な射影ベース手法よりも高い精度を達成しつつ、元のネットワーク構造を保持する低次元モデルを生成すること。

提案手法

• 本手法は、与えられたグラフクラスタリングから導かれる商グラフを用いて、エッジ重みを調整可能なパラメータ化された低次元モデルを構築する。
• 近似誤差は $\mathcal{H}_{2}$-ノルムで定量化され、エッジ重みに関するこの誤差を最小化する最適化問題に帰着する。
• 非凸なBMI制約は凸-凹分解を用いて処理され、凸な線形行列不等式（LMI）部分問題の逐次的解法に変換される。
• 反復的アルゴリズムを提案し、クラスタリングに基づく射影からの初期値を用いて、LMI部分問題を繰り返し解き、局所最適解に収束させる。
• アルゴリズムは収束を保証し、ネットワークトポロジを変更せずにエッジ重みの系統的最適化によりモデル精度を向上可能である。
• 各反復で凸部分問題を解くためにSeDuMiソルバを用いて実装されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワーク構造を保持しつつ、近似誤差の $\mathcal{H}_{2}$-ノルムを最小化するように、低次元ネットワークモデルのエッジ重みを最適化できるか？
• RQ2 双線形行列不等式（BMI）制約を含む非凸最適化問題を、ネットワークモデル低減の文脈で効率的に解く方法は何か？
• RQ3 最適エッジ重み付けにより、標準的なクラスタリングベース射影法に比べて、近似精度をどの程度向上できるか？
• RQ4 提案された反復的アルゴリズムは意味のある解に収束するか？また、誤差低減の観点でベースライン手法を上回る性能を示せるか？
• RQ5 本手法は、有向かつ強連結な拡散結合ネットワークにも適用可能であり、構造的忠実性を維持できるか？

主な発見

• 提案手法によるエッジ重み付けにより、14ノードのセンサーネットワーク例において、クラスタリングベース射影法に比べて $\mathcal{H}_{2}$-ノルム近似誤差が41.93%低減された。
• 最終的な近似誤差は0.0187にまで低下した。これはベースライン手法の0.0322から著しく改善された。
• 収束は72反復で達成され、収束許容誤差 $\varepsilon = 10^{-5}$ を満たしており、安定的かつ信頼性のある解が得られた。
• 最適エッジ重みは $\hat{w}^{*} = [0.6826, 0.2394, 0.6826, 0.0948, 0.0537, 0.1446, 0.0537, 0.1446]$ であり、初期の射影ベース重みとは顕著に異なる。
• 本手法は元のシステムのネットワーク構造とトポロジを保持しつつ、パラメータ化されたエッジ重みを用いた系統的な誤差最小化を実現した。