[論文レビュー] Reduced order modeling of parametrized systems through autoencoders and SINDy approach: continuation of periodic solutions

Paolo Conti, Giorgio Gobat+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自己符号化器（AE）とスパースな非線形力学の同定（SINDy）を組み合わせることで、限られたフルオーダー（FOM）シミュレーションデータから低次元動的システムを構築する、非侵襲的でデータ駆動型の低次元モデル化フレームワークを提示する。同定された潜在的ODEにパrametric依存性を埋め込むことで、トランスィエンスをシミュレートせずに周期的解の継続が可能となり、訓練データの範囲を超えて時間的およびパrameter的範囲にわたる定常応答の正確な予測が可能になる。構造力学および流体動力学の問題において、その有効性が実証された。

ABSTRACT

Highly accurate simulations of complex phenomena governed by partial differential equations (PDEs) typically require intrusive methods and entail expensive computational costs, which might become prohibitive when approximating steady-state solutions of PDEs for multiple combinations of control parameters and initial conditions. Therefore, constructing efficient reduced order models (ROMs) that enable accurate but fast predictions, while retaining the dynamical characteristics of the physical phenomenon as parameters vary, is of paramount importance. In this work, a data-driven, non-intrusive framework which combines ROM construction with reduced dynamics identification, is presented. Starting from a limited amount of full order solutions, the proposed approach leverages autoencoder neural networks with parametric sparse identification of nonlinear dynamics (SINDy) to construct a low-dimensional dynamical model. This model can be queried to efficiently compute full-time solutions at new parameter instances, as well as directly fed to continuation algorithms. These aim at tracking the evolution of periodic steady-state responses as functions of system parameters, avoiding the computation of the transient phase, and allowing to detect instabilities and bifurcations. Featuring an explicit and parametrized modeling of the reduced dynamics, the proposed data-driven framework presents remarkable capabilities to generalize with respect to both time and parameters. Applications to structural mechanics and fluid dynamics problems illustrate the effectiveness and accuracy of the proposed method.

研究の動機と目的

• 複数のパrameterおよび初期条件の組み合わせに対して、パrametrizedで時間に依存するPDEのフルオーダー（FOM）モデルの高い計算コストを低減すること。
• 侵襲的ROMおよび標準的なデータ駆動型代理モデルの解釈可能性、一般化性能、および時間的・パrameter的外挿における安定性の制限を克服すること。
• 複雑なシステムの内在的力学を潜在空間におけるシステム同定によって捉える、非侵襲的で解釈可能かつ一般化可能な低次元モデルを構築すること。
• トランスィエンスをシミュレートせずに周期的定常解の継続を可能とし、分岐の検出や不安定性解析を容易にすること。
• SINDyによる物理的一致性を活用することで、時間的およびパrameter的空間において訓練データを超えて一般化可能なフレームワークを構築すること。

提案手法

• フルオーダー解スナップショットから空間モードを抽出するために、適切な直交分解（POD）を用いる。
• 高次元の解フィールドを低次元の潜在空間にマッピングするためのフィードフォワード自己符号化器を訓練し、本質的な動的特性を保持する。
• パラメトリックなスパースな非線形力学の同定（SINDy）を適用し、潜在空間におけるスパースな常微分方程式（ODE）系を同定する。この際、パrameter依存性を組み込む。
• パラメータ依存性を明示的にモデル化するパラメトリックな潜在ODE系を構築する。
• 同定された潜在ODEモデルを用いて、長期的な積分と数値的継続を実行し、周期的解や分岐を追跡する。
• デコーダとPODモードを用いてフルオーダー解を再構築し、物理的解釈と検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型で非侵襲的なROMフレームワークとして、自己符号化器とSINDyを組み合わせることで、最小限の訓練データでパラメトリックPDEの動的挙動を正確にモデル化できるか？
• RQ2 同定された潜在的動的システムは、訓練データの範囲を超えて、新たなパrameter値や長時間スケールにまでどの程度一般化できるか？
• RQ3 パラメトリックな潜在ODEモデルは、トランスィエンスをシミュレートせずに周期的定常解を効率的に計算するための継続技術をサポートできるか？
• RQ4 流体動力学的問題において、このフレームワークは、層流から非定常流への遷移（例：渦剥離）をどの程度正確に検出できるか？
• RQ5 SINDyに基づくスパース性と物理的一致性を組み込むことで、純粋なブラックボックス型ディープラーニングベースのROMと比較して、耐性性が向上し、過学習が軽減されるか？

主な発見

• AE+SINDyフレームワークは、固定端同士の梁に対して1次元の潜在的動的システムを成功裏に同定し、訓練範囲外の新たなパrameter値についても、定常応答を正確に予測できた。
• 円柱の周囲流れの事例では、本手法が層流および非定常な流れの両方の流れ状態を正確に捉え、渦剥離が発生するReynolds数を正しく同定した。
• 潜在モデルを用いた継続による分岐ダイアグラムは、フルオーダーのスナップショットで観測された物理的挙動とよく一致しており、本手法による動的挙動の定性的な変化の検出の正確性を裏付けた。
• 潜在ODEモデルは、訓練データから大きく離れたテスト例に対しても、周期的解の安定的かつ正確な長期積分を可能とし、時間的およびパrameter的外挿に対する耐性を示した。
• 本フレームワークは、低い計算コストで高い精度を達成し、非侵襲的である一方で、推論時に元のPDE作用素へのアクセスを必要とせず、限られた数のFOMスナップショットで十分である。
• SINDyとパラメトリックな潜在動的システムの統合により、純粋なブラックボックス型ディープラーニング代理モデルと比較して、解釈性が向上し、過学習が軽減された。これは、安定した継続および一般化性能の観点から裏付けられた。