[論文レビュー] Reduced order modelling of fully coupled electro-mechanical systems through invariant manifolds with applications to microstructures

Attilio Frangi, Alessio Colombo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2023

Advanced MEMS and NEMS Technologies被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不変多様体の直接パrametrization法（DPIM）を用いて、完全に結合された電磁機械的MEMSに対する新しい低次元モデル化手法を提案する。明示的な多項式非線形性を有する混合完全ラグランジュ式の定式化を構築することで、静電的駆動型マイクロ構造物の非線形振動に対する高精度で高次元のモデル次元削減が可能となり、硬化的から軟化的への遷移や二次共振といった複雑なダイナミクスを高精度に捉えることが可能になった。

ABSTRACT

This paper presents the first application of the direct parametrisation method for invariant manifolds to a fully coupled multiphysics problem involving the nonlinear vibrations of deformable structures subjected to an electrostatic field. The formulation proposed is intended for model order reduction of electrostatically actuated resonating Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS). The continuous problem is first rewritten in a manner that can be directly handled by the parametrisation method, which relies upon automated asymptotic expansions. A new mixed fully Lagrangian formulation is thus proposed which contains only explicit polynomial nonlinearities, which is then discretised in the framework of finite element procedures. Validation is performed on the classical parallel plate configuration, where different formulations using either the general framework, or an approximation of the electrostatic field due to the geometric configuration selected, are compared. Reduced-order models along these formulations are also compared to full-order simulations operated with a time integration approach. Numerical results show a remarkable performance both in terms of accuracy and wealth of nonlinear effects that can be accounted for. In particular, the transition from hardening to softening behaviour of the primary resonance while increasing the constant voltage component of the electric actuation, is recovered. Secondary resonances leading to superharmonic and parametric resonances are also investigated with the reduced-order model.

研究の動機と目的

• 完全に結合された電磁機械的系に内在する非線形性を有するモデル次元削減の課題に対処すること。
• 従来の漸近展開に基づく削減手法に適用可能な非多項式的性質を示す静電力の非多項式的性質を克服すること。
• 有限要素離散化および不変多様体技法と互換性を持つ一般化された幾何形状に依存しない定式化を開発すること。
• 非線形共振挙動に関するフルオーダーのシミュレーションおよびベンチマーク解と比較することで、低次元モデルの妥当性を検証すること。
• 共振マイクロ構造物における硬化的から軟化的への遷移や二次共振といった複雑な非線形現象の正確な予測を可能にすること。

提案手法

• 電磁機械的問題を元の配置で記述する、新しい混合完全ラグランジュ式の定式化を提案し、電界を表す補助場を導入する。
• すべての非線形性が明示的かつ多項式的であることを保証することで、任意の次数の漸近展開に直接DPIMを適用可能にする。
• 有限要素法による半離散化により、非自励系DPIMに適した微分代数方程式系が得られる。
• 自動化された漸近展開を用いて、位相空間内での不変多様体としての非線形正規モードを捉える低次元モデル（ROM）を導出する。
• 連続法をROMに適用し、周波数応答曲線のトレースと分岐解析を実施する。
• 平行板構造に対する時間積分によるフルオーダーのシミュレーションと解析的ベンチマークとを比較することで、アプローチの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変多様体の直接パラメータ化法（DPIM）は、非多項式的非線形性を有する完全に結合された電磁機械的系へと成功裏に拡張可能か？
• RQ2 本質的に非多項式的である静電力は、どのように再定式化されれば、モデル次元削減における高次元漸近展開が可能になるか？
• RQ3 提案されたROMは、MEMSにおける硬化的から軟化的への遷移や二次共振といった複雑な非線形ダイナミクスをどの程度正確に捉えることができるか？
• RQ4 展開における非自励項の次数は、ROMの精度および収束性にどのように影響するか？
• RQ5 フルオーダーの有限要素シミュレーションと比較して、提案されたROMの計算効率はどの程度か？

主な発見

• 提案された混合完全ラグランジュ式の定式化により、非多項式的静電力非線形性が明示的な多項式項に変換され、DPIMの適用が可能となった。
• DC電圧成分が増加するに従い、一次共振における硬化的から軟化的への挙動遷移が、フルオーダーのシミュレーション結果と一致して正確に再現された。
• スーパーハーモニック共振およびパラメトリック共振を含む二次共振が、低次元モデルによって成功裏に再現された。
• ROMの収束はO(9,3)で達成され、O(9,5)以降の高次項は解にほとんど影響を及ぼさなかった。
• 計算コストは著しく削減された：O(7,1)ではROM構築に1分未満、O(9,5)では最大25分で完了した。一方、各連続曲線の計算には10秒から1分程度で完了した。
• 剛性比例減衰は分岐分岐枝の収束に不可欠であり、質量比例減衰では発散解が得られることが示され、ROMによる減衰の正確な表現が裏付けられた。