[論文レビュー] Reduced two-type decomposable critical branching processes with possibly infinite variance

Charline Smadi, Vladimir Vatutin|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、無限分散を伴う二種類の分解可能臨界ブランチング過程の系統的構造を研究し、生存確率に条件付けた場合の縮約過程および最も最近の共通祖先（MRCA）の漸近的挙動に注目する。タイプ間の共存に関する3つの異なるレジームを特定し、MRCAの誕生時刻とタイプの極限分布を導出する。特に、子孫の分散が無限大である場合には、MRCAは通常、タイプ2の個体であり、その時刻分布は重い尾を持つことが示される。

ABSTRACT

We consider a Galton-Watson process $\mathbf{Z}% (n)=(Z_{1}(n),Z_{2}(n))$ with two types of particles. Particles of type 2 may produce offspring of both types while particles of type 1 may produce particles of their own type only. Let $Z_{i}(m,n)$ be the number of particles of type $i$ at time $m

研究の動機と目的

• 時間nにおける生存を条件付けた二種類の分解可能ガルトン＝ワトソンのブランチング過程の系統的構造を理解すること。
• 時刻mにおける粒子数で、時刻nに子孫を残すものを数える縮約過程Z(m,n)の漸近的挙動を特定すること。
• 異なるパrameterレジーム下でのMRCAの誕生時刻βₙおよびタイプTₙの分布を特定すること。
• 無限分散を伴う臨界ブランチング過程に関する既存の結果を、タイプ1の個体が唯一タイプ1の子孫を生むという多型、分解可能な設定に拡張すること。

提案手法

• 子孫分布を記述するため、生成関数F₁(s₁)およびF₂₁(s₁,s₂)を用いる。それぞれの分布は、指数1+α₁および1+α₂のべき則的尾を持つと仮定する。
• 無限分散を伴う子孫分布を扱うために、正則変動理論および安定分布の吸引域結果を適用する。
• Z(n) ≠ 0である条件のもとで過程を分析し、n → ∞における漸近的解析を用いてZ(m,n)の極限分布を導出する。
• 特定の子孫分布を伴う連続時間マコフブランチング過程への収束を用いて、MRCAの誕生時刻βₙおよびタイプTₙの極限分布を導出する。
• パrameter α₁, α₂, およびA₂₁に基づき、二種類のタイプの異なる共存パターンに対応する3つの明確なレジームを確立する。
• 確率的カップリングおよび分布収束を用いて、スケーリングされた縮約過程が特定のジャンプダイナミクスを伴う連続時間マコフ過程に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 子孫の分散が無限大であり、かつ時刻nにおける生存を条件付けた場合、二種類の分解可能な臨界ブランチング過程の系統的構造はどのように振る舞うか？
• RQ2 異なるパrameterレジーム下で、MRCAの誕生時刻およびタイプの極限分布は何か？
• RQ3 分散が無限大である場合、タイプ1およびタイプ2の個体が生存集団に与える相対的寄与度は、時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ4 二種類のタイプの3つの明確な共存レジームとは何か？それらは系統的木の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 変異や移動（タイプ2の個体がタイプ1の子孫を生むとモデル化される）が、MRCAまでの時間に与える影響は何か？

主な発見

• 初期個体がタイプ2の場合、MRCAがタイプ2の個体である確率はα₂/(1+α₂)であり、タイプ1の個体である確率は1/(1+α₂)である。
• α₂ < 1のとき、MRCAの誕生時刻βₙの極限分布は区間[0,n]全体に集中し、非退化的かつ連続な密度を持つ。
• α₂ < 1のとき、MRCAが時刻an（a ∈ (0,1)）より前に誕生する確率はa/(1+α₂)に収束し、MRCA時刻の重い尾分布を示している。
• α₂ = 1のとき、MRCAの誕生時刻βₙは、パrameter bおよびσに依存する確率変数に分布収束する。
• 縮約過程Z(m,n)は、特定の子孫分布を伴う連続時間マコフブランチング過程に分布収束する。具体的には、確率1/(1+α₂)でタイプ2の個体が1体のタイプ1の子孫を生じ、タイプ2の子孫は生じない。また、確率α₂/(1+α₂)で、少なくとも2体のタイプ2の子孫が生じる。
• 生存確率Q₂₁(n)は、n^(-1/α₂)にゆっくり変動する関数を乗じた形で減少し、無限分散下でのプロセスの臨界性を裏付けている。