[論文レビュー] Reduced words for clans

Brian Burks, Brendan Pawlowski|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、旗多様体上の $\mathrm{GL}(\mathbb{C}^p)\times\mathrm{GL}(\mathbb{C}^q)$ の軌道をインデキシングする組合せ的対象であるクランにおける弱順序の下での短縮語について、松本＝ティッツ型の定理を確立する。短縮語集合を特徴付ける同値関係を導入し、それら集合が同値類の和集合であることを証明し、標準的およびシフト標準テーブルと関連する数え上げ公式を提示。対称関数とホック長の公式により正確な数え上げがなされる。

ABSTRACT

Clans are combinatorial objects indexing the orbits of $GL(\mathbb{C}^p) imes GL(\mathbb{C}^q)$ on the variety of flags in $\mathbb{C}^{p+q}$. This geometry leads to a partial order on the set of clans analogous to weak Bruhat order on the symmetric group, and we study the saturated chains in this order. We prove an analogue of the Matsumoto-Tits theorem on reduced words in a Coxeter group. We also obtain enumerations of reduced word sets for particular clans in terms of standard tableaux and shifted standard tableaux.

研究の動機と目的

• 弱順序におけるクランの短縮語の組合せ的枠組みを構築し、コクセター群からの Matsumoto-Tits 定理の一般化を図ること。
• 軌道幾何学を尊重する語の同値関係を用いて、クランの短縮語集合の構造を特徴づけること。
• 標準的およびシフト標準テーブルを用いて、特定のクランの短縮語を数えること。
• 短縮語の最大鎖の数を符号化するシュール関数とシュール Q 関数を含む対称関数の恒等式を確立すること。

提案手法

• [$n-1$ の隣接対合によるラベル付けを伴う、弱ブルハート順序に類似したクラン上の半順序を定義する。
• [$[n-1]$ 上の語に対する同値関係 $\equiv$ を、コクセター関係と符号反転則 $a_1\cdots a_\ell \equiv (n-a_1)a_2\cdots a_\ell$ によって生成する。これによりクラン幾何学の対称性が捉えられる。
• 各クラン $\gamma$ に対して関連する対称関数 $F_\gamma$ を定義し、単項式の係数が $\gamma$ の短縮語の数を数えるようにする。これはパーマンの枠組みを拡張したものである。
• マッチレスクランと $[p]\times[q]$ 内の分割との間の双対写像を用い、$F_\gamma$ をシュール関数の積 $s_{\lambda^+}s_{\lambda^-}$ に結びつける。
• シフトされたホック長の公式を適用し、形状 $\lambda = (n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)$ の未マーク付き標準シフトテーブルの数を計算する。これは最大鎖の数を数える。
• 等式 $\sum_{\gamma \text{ matchless}} F_\gamma = 2^q P_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)} = Q_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)}$ を証明し、和がシュール Q 関数に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群から弱順序におけるクランへ Matsumoto-Tits 型定理を拡張することは可能か？短縮語集合が単一の同値類でないにもかかわらず。
• RQ2 クランの短縮語集合は対称関数とどのように関係し、標準的およびシフト標準テーブルを用いて数え上げ可能か？
• RQ3 $(p,q)$-クランにおける弱順序の最大鎖の正確な数は何か？そしてそれは対称関数の恒等式にどのように符号化されるか？
• RQ4 マッチレスクランの組合せ的構造とシフトヤングテーブルの間の関係は何か？そしてこれによりどのような対称関数の恒等式が得られるか？
• RQ5 対称関数 $2^{\kappa(z)}\hat{F}_z$ が単一のシュール Q 関数に等しくなる条件は何か？そしてこれは短縮語の数え上げとどのように関係するか？

主な発見

• コクセター関係と符号反転則 $a_1\cdots a_\ell \equiv (n-a_1)a_2\cdots a_\ell$ によって生成される語の同値関係 $\equiv$ は、各短縮語集合 $\mathcal{R}(\gamma)$ が同値類の和集合であることを保証し、これは最も強い関係である。
• 任意のクラン $\gamma$ に対して、短縮語集合 $\mathcal{R}(\gamma)$ は $\equiv$ に関する同値類の和集合であり、$a \equiv b$ であることは、すべてのクランの短縮語集合に同じ属するための必要十分条件である。
• マッチレスクランに関する対称関数の和 $\sum_{\gamma \text{ matchless}} F_\gamma$ は $2^q P_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)}$ に等しく、これはシュール Q 関数 $Q_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)}$ に一致する。これにより対称関数の恒等式が確立される。
• $\mathrm{Clan}_{p,q}$ in における最大鎖の数は $2^{pq} g^{\lambda}$ であり、ここで $g^{\lambda}$ は形状 $\lambda = (n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)$ の未マーク付き標準シフトテーブルの数であり、シフトホック長の公式により計算される。
• $\sum_{\gamma \text{ matchless}} F_\gamma$ における $x_1x_2\cdots x_{pq}$ の係数は $2^{pq} g^{\lambda}$ に等しく、これは最大鎖の数と一致し、数え上げ公式の妥当性が確認される。
• $\gamma \mapsto \lambda^+ (\gamma)$ はマッチレス $(p,q)$-クランと $[p]\times[q]$ 内の分割との間の双対写像を定め、$\lambda^-(\gamma)^t = \lambda^+(\gamma)^\vee$ が成り立ち、これにより恒等式 $\sum_{\lambda \subseteq [p]\times[q]} s_\lambda s_{\lambda^{\vee t}} = Q_{(p+q-1,p+q-3,\ldots,p-q+1)}$ が得られる。