[論文レビュー] Reducibility, differentiable rigidity and Lyapunov exponents for quasi-periodic cocycles on ${\bf T}times SL(2,{\bf R})$

Raphaël Krikorian|ArXiv.org|Feb 20, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、滑らかな準周期的コホースト（cocycle）について、$× \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 上で非摂動的還元可能性を確立する。もし繊維上の回転数がディオファントス的であり、繊維積が $C^0$-位相で一様に有界であれば、コホーストは $C^\infty$-還元可能である。これは、滑らかさの位相における正のリャプノフ指数の $C^\infty$-稠密性および微分的剛性を意味し、シュレーディンガー・コホーストおよび2周波数保存系に拡張される。

ABSTRACT

Given $α$ in some set $Σ$ of total (Haar) measure in ${\bf T}={\bf R}/{\bf Z}$, and $A\in C^{\infty}({\bf T},SL(2,{\bf R}))$ which is homotopic to the identity, we prove that if the fibered rotation number of the skew-product system $(α,A):{\bf T} imes SL(2,{\bf R}) o {\bf T} imes SL(2,{\bf R})$, $(α,A)(θ,y)=(θ+α,A(θ)y)$ is diophantine with respect to $α$ and if the fibered products are uniformly bounded in the $C^0$-topology then the cocycle $(α,A)$ is $C^\infty$-reducible --that is $A(\cdot)=B(\cdot+α)A_0 B(\cdot)^{-1}$, for some $A_0\in SL(2,{\bf R})$, $B\in C^{\infty}({\bf T},SL(2,{\bf R}))$. This result which can be seen as a non-pertubative version of a theorem by L.H. Eliasson has two interesting corollaries: the first one is a result of differentiable rigidity: if $α\inΣ$ and the cocycle $(α,A)$ is $C^0$-conjugated to a constant cocycle $(α,A_0)$ with $A_0$ in a set of total measure in $SL(2,{\bf R})$ then the conjugacy is $C^\infty$; the second consequence is: if $α\in Σ$ is fixed then the set of $A\in C^\infty({\bf T},SL(2,{\bf R}))$ for which $(α,A)$ has positive Lyapunov exponent is $C^\infty$-dense. A similar result is true for the Schrödinger cocycle and for 2-frequencies conservative differential equations in the plane.

研究の動機と目的

• 滑らかな準周期的コホースト $(\alpha, A) \in \mathbb{T} \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ について、ディオファントス的回転数および一様 $C^0$-有界性の条件下で非摂動的還元可能性を確立すること。
• 微分的剛性の証明：もしコホーストがパラメータが全測度集合にある定数コホーストと $C^0$-共役であるならば、その共役は $C^\infty$ であること。
• 固定されたディオファントス的 $\alpha$ に対して、正のリャプノフ指数をもつ滑らかな $A$ の集合が、$C^\infty(\mathbb{T}, \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}))$ において $C^\infty$-稠密であることの証明。
• これらの結果をシュレーディンガー・コホーストおよび平面上の2周波数保存系の微分方程式に拡張すること。

提案手法

• コホースト作用の円被覆への上への持ち上げを通じて定義される、繊維上の回転数を動的不変量として用いる。
• 基底回転の一意的エルゴード性のもとで、回転数の存在および一様収束を保証するヘルマン＝ジョンソン＝モーザーの定理の適用。
• スペクトル集合を用いた、転送関数 $m_\pm(\lambda,x)$ の正則拡張技術の採用。モンテルの定理および正規族の利用。
• フビニとシュワーツの反転から導かれる恒等式 $I - 4\mathrm{Im}\,J = 0$ を用いて、$m_\pm(\lambda,x)$ のスペクトルを通り抜ける正則拡張を示し、$SO(2,\mathbb{R})$-値コホーストへの $C^0$-共役を示す。
• 積分により $m_\pm(\lambda,x)$ の対数微分の導関数を統合し、不等式 $4\liminf_{\mathrm{Im}\lambda \to 0^+} \mathrm{Re}\,\tilde{w}(\lambda)/\mathrm{Im}\lambda \geq I(\lambda_0)$ を導出する。
• Weyl の $m$-関数の導関数とスペクトル測度の関係を示す公式 $\partial_\lambda w(\lambda) = -J$ を用い、恒等式 $I - 4\mathrm{Im}\,J = 0$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな準周期的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$-コホーストが $C^\infty$-還元可能となる条件は何か？
• RQ2 ディオファントス的周波数および全測度パラメータ集合のもとで、$C^0$-共役が $C^\infty$-共役を意味するか？
• RQ3 固定されたディオファントス的周波数に対して、正のリャプノフ指数をもつ滑らかなコホーストの集合は $C^\infty$-稠密か？
• RQ4 エルゴード性のもとで、スペクトル転送関数 $m_\pm(\lambda,x)$ はどのように振る舞い、その正則拡張は還元可能性に何を意味するか？
• RQ5 これらの手法はシュレーディンガー・コホーストおよび2周波数保存系に拡張可能か？

主な発見

• $\mathbb{T}$ におけるハール測度が全測度である集合 $\Sigma$ 内の $\alpha$ に対して、繊維上の回転数がディオファントス的であり、繊維積が $C^0$ で一様に有界であれば、コホースト $(\alpha,A)$ は $C^\infty$-還元可能である。
• $\alpha \in \Sigma$ かつ $(\alpha,A)$ がパラメータが $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の全測度部分集合にある定数コホースト $(\alpha,A_0)$ と $C^0$-共役であるならば、その共役は $C^\infty$ である。
• 固定された $\alpha \in \Sigma$ に対して、正のリャプノフ指数をもつ $A \in C^\infty(\mathbb{T}, \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}))$ の集合は $C^\infty$-稠密である。
• 同じ還元可能性および稠密性の結果は、シュレーディンガー・コホーストおよび平面上の2周波数保存系の微分方程式に対しても成り立つ。
• ほとんど everywhere な $x$ に対して、スペクトル関数 $m_\pm(\lambda,x)$ はスペクトルを通り抜けて正則に拡張され、$SO(2,\mathbb{R})$-値コホーストへの $C^0$-共役を示す。
• スペクトル測度およびポincare度の収縮から導かれる恒等式 $I - 4\mathrm{Im}\,J = 0$ は、回転数が定数にはなり得ないことを示し、非自明な力学的挙動を保証する。