[論文レビュー] Reducibility of finitely differentiable quasi-periodic cocycles and its spectral applications

Ao Cai, Lingrui Ge|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限回微分可能で小さなポテンシャルをもつ準周期的シュレーディンガー作用素に対して、一般にカントールスペクトル性を確立し、ℓ²(ℤᵈ) 上の多周期的 Cᵏ 長距離作用素のクラスに対して純粋点スペクトルを証明する。結果は、ディオファントス的周波数を持つ Cᵏ な SL(2,ℝ) 値の準周期的コアキュールの可約性に依拠しており、定数に近い場合に、回転数がディオファントス的または有理数であると、そのコアキュールは可約であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we prove the generic version of Cantor spectrum for quasi-periodic Schrödinger operators with finitely smooth and small potentials, and we also show pure point spectrum for a class of multi-frequency $C^k$ long-range operators on $\ell^2(\Z^d)$. These results are based on reducibility properties of finitely differentiable quasi-periodic $SL(2,\R)$ cocycles. More precisely, we prove that if the base frequency is Diophantine, then a $C^k$ $SL(2,\R)$-valued cocycle is reducible if it is close to a constant cocycle, sufficiently smooth and the rotation number of it is Diophantine or rational with respect to the frequency.

研究の動機と目的

• 準周期的シュレーディンガー作用素における解析的ポテンシャルから Cᵏ ポテンシャルへの一般カントールスペクトル性の拡張を図ること。
• 可約性技法を用いて、ℓ²(ℤᵈ) 上の多周期的 Cᵏ 長距離作用素の純粋点スペクトルを確立すること。
• ディオファントス的周波数および回転数の条件下で、Cᵏ な SL(2,ℝ) 値の準周期的コアキュールの可約性を証明すること。
• エリャスソンの摂動的結果を、解析的から Cᵏ 位相へ一般化し、k ≥ D₀τ（十分に大きな数定数 D₀）を満たす場合に適用すること。
• 小さな Cᵏ 系列の摂動が、重なったスペクトルギャップを開くことにより、\|⋅\|_k-位相における一般カントールスペクトル構造を示すこと。

提案手法

• ディオファントス的周波数と Cᵏ 正則性を持つ SL(2,ℝ) 値コアキュールの可約性理論を用いる。
• KAM 型反復法と平均化法を適用し、小さな条件とディオファントス的条件の下でコアキュールを定数または放物型形式に共役化する。
• ギャップラベル定理を用いて、回転数とスペクトルギャップ、およびその崩壊を関連付ける。
• 摂動解析を用いて、一般の小さな Cᵏ 系列の摂動が、重なったギャップを開くことを示し、一般カントールスペクトル構造を示す。
• スペクトル端におけるモノドロミー行列 S_E^V とその恒等または放物型形式への共役化を分析する。
• 一般の摂動下で線形化コアキュールを双曲型形式に変換する明示的共役写像 Q を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準周期的シュレーディンガー作用素における一般カントールスペクトル性は、解析的から Cᵏ ポテンシャルへ拡張可能か？
• RQ2 Cᵏ な SL(2,ℝ) 値の準周期的コアキュールが定数コアキュールに近い場合、どのような条件下で可約になるか？
• RQ3 ℓ²(ℤᵈ) 上の Cᵏ 長距離作用素のスペクトルは、ディオファントス的周波数のもとで純粋点スペクトルを示すか？
• RQ4 一般の小さな Cᵏ 系列の摂動は、準周期的系における重なったスペクトルギャップにどのような影響を与えるか？
• RQ5 ディオファントス的回転数は、Cᵏ コアキュールの可約性およびスペクトル構造において果たす役割は何か？

主な発見

• ディオファントス的周波数 α ∈ DC_d(κ,τ) および k ≥ D₀τ に対して、\|V\|_k < ε を満たす一般の V ∈ Cᵏ(𝕋ᵈ,ℝ) に対して、H_{V,α,θ} のスペクトルはカントール集合である。
• スペクトルは \|⋅\|_k-位相においてカントール集合である。これは、このようなポテンシャルの集合が Cᵏ 位相において残渣的であることを意味する。
• ℓ²(ℤᵈ) 上の多周期的 Cᵏ 長距離作用素のクラスに対して、ディオファントス的周波数および小さな条件のもとで純粋点スペクトルが確立される。
• 一般かつ任意に小さな Cᵏ 系列の摂動が、重なったスペクトルギャップを開く。これは、カントールスペクトル構造の一般性を示す。
• コアキュールが十分に定数に近く、Cᵏ であれば、回転数がディオファントス的または有理数である場合、SL(2,ℝ) コアキュールの可約性が成り立つ。
• 証明は、一般の摂動下でコアキュールを双曲型形式に変換する共役を構成することに依拠しており、t ≠ 0 の小さな t に対して一様双曲的であることを確認する。