[論文レビュー] Reducibility of polynomials $f(x,y)$ modulo $p$

Wolfgang M. Ruppert|ArXiv.org|Aug 5, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、bidegree $ (m,n) $ および高さ $ H $ を持つ絶対的不可約多項式 $ f(x,y) \in \mathbb{Z}[x,y] $ が、素数法体 $ \mathbb{F}_p $ で還元されても絶対的不可約のままであるような、素数 $ p $ の鋭い上限を確立する。$ p > [m(n+1)n^2 + (m+1)(n-1)m^2]^{mn + \frac{n-1}{2}} \cdot H^{2mn + n - 1} $ ならば、$ f \bmod p $ は絶対的不可約であることを証明する。さらに、Bouniakowsky 猜定を仮定すると、$ \mathbb{Q} $ 上で絶対的不可約だが、$ p \geq H^{2m} $ なる素数で可約となるような多項式が無限に存在することを示し、$ n=1 $ の場合に指数 $ 2m $ が最適であることを示している。結果として、従来の推定値を改善し、微分形式を用いた可約性の検出基準を提供する。

ABSTRACT

We consider absolutely irreducible polynomials $f \in Z[x,y]$ with $°_x(f)=m$, $°_y(f)=n$ and height $H$. We show that for any prime $p$ with $p>c_{mn} H^{2mn+n-1}$ the reduction $f \bmod p$ is also absolutely irreducible. Furthermore if the Bouniakowsky conjecture is true we show that there are infinitely many absolutely irreducible polynomials $f \in Z[x,y]$ which are reducible mod $p$ where $p$ is a prime with $p>H^{2m}$.

研究の動機と目的

• 絶対的不可約な多項式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ の還元 $ f \bmod p $ が絶対的不可約のままであるような、素数 $ p $ の十分条件を特定すること。
• 特に bidegree $ (m,n) $ の多項式に対して、$ p $ の絶対的不可約性を保証する既存の境界を改善すること。
• 多項式の高さ $ H $ に関連する境界における指数の鋭さを調査すること。
• Bouniakowsky 猜定を仮定して、$ \mathbb{Q} $ 上で絶対的不可約だが、大きな素数 $ p \geq H^{2m} $ で可約となるような多項式が無限に存在するかを検討すること。

提案手法

• 閉じた1形式に基づく基準を用いる：多項式 $ f $ が $ p $ を法として可約であるのは、$ \partial_y(r/f) = \partial_x(s/f) $ を満たす制御された bidegree の多項式 $ r,s $ が存在するときである。
• 条件を $ \overline{\mathbb{F}_p} $ 上の線形系に還元し、行列 $ M(f) $ の係数から導かれる、すべての $ (2mn + n - 1) \times (2mn + n - 1) $ 小行列式が消えることで、非自明な解の存在が保証される。
• 多項式 $ f $ の係数の大きさと $ r,s $ の次数の境界を適用し、$ M(f) $ がフルランクを保つような $ p $ の明示的上限を導出する。これにより、$ p $ がその上限を超えると、$ f \bmod p $ は不可約であることが保証される。
• 閉じた1形式の構造定理と付値論的議論を用いて、このような $ r,s $ の存在を $ f $ の代数的構造に基づいて特徴付ける。
• 多項式 $ f_\ell(x,y) = (\ell x^m - 2x + 2) + (x^m - \ell)y^n $ の明示的族を構成し、境界の検証と可約性の証明に用いる。ここで $ g_m(\ell) = (\ell^2 + 2)^m - 2^m \ell $ が素数である場合に可約となる。
• Bouniakowsky 猜定に依拠して、$ g_m(\ell) $ が無限に多くの $ \ell $ に対して素数であると仮定し、$ \mathbb{Q} $ 上で不可約だが、$ p \geq H(f)^{2m} $ で可約となる多項式の無限族を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対的不可約な多項式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ の還元 $ f \bmod p $ が絶対的不可約のままであるような最小の素数 $ p $ は何か？
• RQ2 $ p $ の境界における高さ $ H $ の指数を改善できるか。特に $ n=1 $ の場合に $ 2m $ が最適であるか？
• RQ3 多項式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ が $ \mathbb{Q} $ 上で不可約だが、大きな素数 $ p $ で可約になる条件は何か？
• RQ4 高さが有界で $ p $ が増加するような、$ p \geq H(f)^{2m} $ を満たすこのような多項式の無限族は存在するか？
• RQ5 微分形式と有限体上の線形代数を用いて、$ p $ の境界を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、新たな明示的境界を確立する：$ p > [m(n+1)n^2 + (m+1)(n-1)m^2]^{mn + \frac{n-1}{2}} \cdot H(f)^{2mn + n - 1} $ ならば、$ f \bmod p $ は絶対的不可約である。
• $ n=1 $ の場合、境界は $ p > (2m)^m \cdot H(f)^{2m} $ に簡略化され、Bouniakowsky 猜定のもとで指数 $ 2m $ が最適であることが示されている。
• Bouniakowsky 猜定を仮定すると、bidegree $ (m,n) $ の絶対的不可約な多項式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ が無限に存在し、$ p \geq H(f)^{2m} $ なる素数で可約となることが示され、この場合における指数 $ 2m $ の鋭さが証明された。
• $ f_\ell(x,y) = (\ell x^m - 2x + 2) + (x^m - \ell)y^n $ の族の構成により、$ \mathbb{Q} $ 上で不可約だが、$ p = g_m(\ell) $ で可約となる多項式が得られる。ここで $ g_m(\ell) = (\ell^2 + 2)^m - 2^m \ell $ である。
• $ g_m(t) = (t^2 + 2)^m - 2^m t $ は $ \mathbb{Q} $ 上で不可約であり、$ \gcd\{g_m(\ell) : \ell \in \mathbb{N}\} = 1 $ を満たすため、Bouniakowsky 猜定が適用可能であり、無限に多くのこのような素数を生成できる。
• 本稿は、$ n \geq 2 $ の場合、高さ項における指数 $ 2mn + n - 1 $ は改善可能である可能性を示しており、既知の例（$ m=2, n=2 $）ではより良い指数が存在するため、境界がタイトでないことが示されている。