[論文レビュー] Reducibility of the polynomial representation of the degenerate double affine Hecke algebra

Pavel Etingof|ArXiv.org|Jun 28, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、退化双有理アフィンヘッケ代数（DAHA）または三角的チェレドニク代数の多項式表現が可約となるパラメータ $ c $ の値を特定する。幾何的アプローチを用いて、同じランクの根系部分系 $ R' \subset R $ に対応する有理的チェレドニク代数の可約性点であるときに、かつそのときに限り可約性が成立することを示す。これは、ボレル＝デ・ジーベンタルのアルゴリズムによって分類された根系の等ランク埋め込みに基づく。この結果により、三角的ケースにおける可約性構造が解明され、かつて謎とされた $ B_n $、$ F_4 $、$ G_2 $ 型における追加の可約性ラインの起源が明らかになる。この結果は、任意の滑らかな多様体に有限群作用が与えられた場合にも一般化され、有限次元表現のカテゴリカル同値性が得られる。

ABSTRACT

In this note we determine the values of parameters c for which the polynomial representation of the degenerate double affine Hecke algebra (DAHA), i.e. the trigonometric Cherednik algebra, is reducible. Namely, we show that c is a reducibility point for the polynomial representation of the trigonometric Cherednik algebra for a root system R if and only if it is a reducibility point for the rational Cherednik algebra for the Weyl group of some root subsystem R' of R of the same rank; such subsystems for any R are given by the well known Borel-de Siebenthal algorithm. This result has been proved by Cherednik using a case-by-case method.

研究の動機と目的

• 退化DAHA（三角的チェレドニク代数）の多項式表現が可約となるパラメータ $ c $ の完全な集合を特定すること。
• 単純な根系でないタイプの根系、たとえば $ B_n $、$ F_4 $、$ G_2 $ のようなタイプにおいて、有理的チェレドニク代数の設定とは異なり追加の可約性点が現れる理由を明らかにすること。
• 退化DAHAにおける可約性が、より小さい根系に対応する有理的チェレドニク代数の表現論に帰着されることを幾何的枠組みで確立すること。
• 結果の範囲をトーラスやワイル群に限らず、任意の滑らかな代数的多様体に有限群作用が与えられた場合に一般化すること。

提案手法

• 本稿は、[E2]で開発されたチェレドニク代数の幾何的アプローチを用いる。この方法では、有限群作用が与えられた滑らかな多様体からチェレドニク代数を構成する。
• 中心化子のランクがリー代数のランクと等しくなる点（つまり、最大の安定化子を持つ点）の集合 $ \Sigma \subset H $ を特定する。この集合は有限であり、等ランクの根系部分系に対応する。
• 各 $ x \in \Sigma $ に対して、安定化子群 $ G_x \subset G $ が接空間 $ T_xX $ 上に作用し、元の $ c $ から誘導された反射に関するパラメータ関数 $ c_x $ が得られる。
• 多項式表現の可約性は、$ c_x $ が有理的チェレドニク代数 $ H_{c_x}(G_x, T_xX) $ に対して特異パラメータであることに同値であることが示され、[DJO]で知られている分類を用いる。
• 証明は、単位根を除くすべてのケースで、退化および非退化DAHAの可約性問題が同値であるという事実を活用しており、幾何的構成により、すべてのケースを一様に取り扱える。
• 任意の滑らかな多様体への一般化は、Cherednik代数の層 $ H_{1,c,0,X,G} $ を定義し、表現の台を解析することで達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ c $ がどのような値のとき、退化DAHAの多項式表現が可約になるか？
• RQ2 なぜ $ B_n $（$ n \geq 3 $）、$ F_4 $、$ G_2 $ 型では三角的設定において追加の可約性ラインが現れるが、$ C_n $ 型では現れないのか？その根系論的起源は何か？
• RQ3 退化DAHAにおける多項式表現の可約性は、より小さい根系に対応する有理的チェレドニク代数の表現論に帰着可能か？
• RQ4 [E2]の幾何的枠組みは、トーラスやワイル群を超えて可約性基準を一般化可能か？
• RQ5 退化DAHAの有限次元表現は、点 $ x \in \Sigma $ における安定化子部分群 $ G_x $ に対する有理的チェレドニク代数の有限次元表現とどのように関係するか？

主な発見

• 退化DAHAの多項式表現は、ちょうどそのパラメータ $ c $ が同じランクの根系部分系 $ R' \subset R $ に対応する有理的チェレドニク代数の可約性点であるとき、かつそのときに限り可約である。
• 三角的ケースにおける可約性点は、すべてボレル＝デ・ジーベンタルのアルゴリズムによって分類され、これは等ランクの根系埋め込みを分類するものである。
• $ B_n $（$ n \geq 3 $）、$ F_4 $、$ G_2 $ 型に追加の可約性ラインが現れるが、$ C_n $ 型には現れない。これは、それぞれ $ D_n \subset B_n $、$ B_4, A_3 \times A_1 \subset F_4 $、$ A_2 \subset G_2 $ という特定の等ランク根系部分系に起因する。
• 可約性条件は、$ c \in \bigcup_{x \in \Sigma} \text{Sing}_x(G,X) $ に同値であり、ここで $ \Sigma $ は最大安定化子を持つ点の有限集合であり、$ \text{Sing}_x $ は点 $ x $ における局所的有理的チェレドニク代数の特異パラメータを表す。
• この結果は、任意の滑らかな代数的多様体 $ X $ と有限群作用 $ G $ に対して一般化可能であり、多項式表現の可約性は、点 $ x $ における局所パラメータ $ c_x $ が有理的チェレドニク代数で特異であることと同値である。
• 退化DAHAの有限次元表現は、点 $ x \in \Sigma $ における安定化子群 $ G_x $ に対する有理的チェレドニク代数の有限次元表現の直和にカテゴリカル同値であり、この同値性は球対称性を保つ。