[論文レビュー] Reducibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrodinger cocycles

Artur Avila, Raphaël Krikorian|ArXiv.org|Jun 26, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、ほとんどすべての無理数周波数 $\alpha$ およびほとんどすべてのエネルギー $E$ に対して、解析的ポテンシャルを持つ準周期的シュレーディンガーコセットが、還元可能または非一様な双曲的であることを確立している。主な結果は、解析的カテゴリーにおけるコセットの還元可能性二分法を用いて、オーブリ-アンドレ予想を解決し、すべての無理数周波数に対してAlmost Mathieu作用素のスペクトルが零測度であることを示している。

ABSTRACT

We show that for almost every frequency alpha \in \R \setminus \Q, for every C^omega potential v:\R/\Z o R, and for almost every energy E the corresponding quasiperiodic Schrodinger cocycle is either reducible or nonuniformly hyperbolic. This result gives very good control on the absolutely continuous part of the spectrum of the corresponding quasiperiodic Schrodinger operator, and allows us to complete the proof of the Aubry-Andre conjecture on the measure of the spectrum of the Almost Mathieu Operator.

研究の動機と目的

• 解析的クラスにおける準周期的シュレーディンガーコセットの還元可能性と非一様双曲的性の二分法を確立すること。
• 準周期的シュレーディンガー作用素の絶対連続スペクトルに対する精密な制御を提供すること。
• Almost Mathieu作用素のスペクトルの測度に関するオーブリ-アンドレ予想の完全な証明を完成させること。
• 摂動的でない領域を超えて、準周期的系における力学的挙動の理解を拡張すること。

提案手法

• 解析的ポテンシャル $ v \in C^{\omega}({\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}},{\mathbb{R}}) $ および無理数 $ \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ を持つ準周期的シュレーディンガーコセット $ (\alpha, S_{v,E}) $ を分析する。
• ほぼすべての $ E $ に対して、コセットが $ C^{\omega} $-還元可能または非一様双曲的であるという還元可能性二分法を適用する。
• 繊維化された回転数とその共役下での不変性を用いて、コセットの力学的挙動を分析する。
• 標準的なディオファントス集合を超える一般的な周波数を扱うために、再帰的ディオファントス条件（RDC）の概念を用いる。
• 還元可能性が $ \mathbb{Z} $ を法として成り立つと、正のリャプノフ指数と組み合わせて一様双曲的になるという事実を活用する。
• Eliasson や Sorets-Spencer の小結合・大結合領域に関する結果を応用し、包括的な像を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた解析的ポテンシャルを持つ準周期的シュレーディンガーコセットに対して、ほとんどすべてのエネルギーについて、力学的挙動（還元可能対非一様双曲的）を分類することは可能か？
• RQ2 力学系の技法を用いて、Almost Mathieu作用素のスペクトルが零測度であるというオーブリ-アンドレ予想を完全に解決できるか？
• RQ3 還元可能性または非一様双曲的性の二分法は、ディオファントス周波数に限らず、すべての無理数周波数に対して成り立つか？
• RQ4 繊維化された回転数は共役およびスケーリングの下でどのように振る舞い、コセットの構造について何を明らかにするか？

主な発見

• ほとんどすべての無理数周波数 $ \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ およびほとんどすべてのエネルギー $ E $ に対して、準周期的シュレーディンガーコセット $ (\alpha, S_{v,E}) $ は $ C^{\omega} $-還元可能または非一様双曲的である。
• この結果は、対応するシュレーディンガー作用素の絶対連続スペクトルが、コセットが還元可能なエネルギーの集合に含まれることを示唆する。
• オーブリ-アンドレ予想は完全に解決された：すべての無理数周波数に対して、Almost Mathieu作用素のスペクトルはLebesgue測度が零である。
• 二分法は $ \text{RDC} $ に属するすべての $ \alpha $ に対して成り立ち、Lebesgue測度が1である集合であり、結果は周波数に一様に適用可能であるという意味で非摂動的である。
• 繊維化された回転数は共役およびスケーリングの下で不変であり、不変測度に沿って定数であることから、それが力学的不変量としての強固な役割を果たすことが確認される。
• 本稿では、一様双曲的性が正のリャプノフ指数を伴う $ C^{\omega} $-還元可能性と同値であることを確立しており、解析的カテゴリーにおける以前の結果を拡張している。