[論文レビュー] Reducing a Target Interval to a Few Exact Queries

Jesper Nederlof, Erik Jan van Leeuwen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Numerical Methods and Algorithms被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、重みの合計が目標区間内にある必要がある範囲付き問題（ranged problems）を、特定の値に正確に一致させる必要がある少数の正確問題（exact problems）に還元する汎用的手法を提示する。ランダム化された重みスケーリングおよびハッシュ化技術を活用することで、Knapsack や Subset Sum や Vertex Cover といった NP 困難問題を、計算量が多項式要因の範囲内で保たれる同等の正確な照会に効率的に変換可能である。

ABSTRACT

Many combinatorial problems involving weights can be formulated as a so-called ranged problem. That is, their input consists of a universe $U$, a (succinctly-represented) set family $\mathcal{F} \subseteq 2^{U}$, a weight function $ω:U ightarrow \{1,...,N\}$, and integers $0 \leq l \leq u \leq \infty$. Then the problem is to decide whether there is an $X \in \mathcal{F}$ such that $l \leq \sum_{e \in X}ω(e) \leq u$. Well-known examples of such problems include Knapsack, Subset Sum, Maximum Matching, and Traveling Salesman. In this paper, we develop a generic method to transform a ranged problem into an exact problem (i.e. a ranged problem for which $l=u$). We show that our method has several intriguing applications in exact exponential algorithms and parameterized complexity, namely: - In exact exponential algorithms, we present new insight into whether Subset Sum and Knapsack have efficient algorithms in both time and space. In particular, we show that the time and space complexity of Subset Sum and Knapsack are equivalent up to a small polynomial factor in the input size. We also give an algorithm that solves sparse instances of Knapsack efficiently in terms of space and time. - In parameterized complexity, we present the first kernelization results on weighted variants of several well-known problems. In particular, we show that weighted variants of Vertex Cover, Dominating Set, Traveling Salesman and Knapsack all admit polynomial randomized Turing kernels when parameterized by $|U|$. Curiously, our method relies on a technique more commonly found in approximation algorithms.

研究の動機と目的

• 動的計画法やパrameterized アルゴリズムにおいて、指数的に大きな重みが引き起こす計算課題に対処すること。
• Knapsack のような範囲付き問題の複雑さが、その正確な対応物（例：Subset Sum）と、時間的・空間的効率の観点から多項式要因の範囲内で同等であるかどうかを調査すること。
• 入力サイズの著しい増大を伴わせることなく、任意の範囲付き問題を少数の正確問題に還元する汎用的変換手法を開発すること。
• ハッシュ化や補間といった強力な正確アルゴリズム技法を、従来は取り扱いが困難であった範囲付き問題に適用可能にする。
• 重み付きの基本的な NP 困難問題（例：Vertex Cover, Dominating Set, Knapsack）のための、初めての多項式ランダム化チューリングカーネルを、宇宙サイズ |U| でパラメータ化した場合に確立すること。

提案手法

• 目標区間 [l, u] を、O(n log(nN)) 組のスケーリングされた重みと目標値を用いて、正確な和の照会にマッピングするランダム化された重みスケーリング手法を導入する。
• 近似アルゴリズムにおける多項式法の変種を用いて、元の区間内の解が、少なくとも1つの正確な照会で解に対応する確率を高める。
• 補題 2 を用いた確率的還元により、各スケーリングされた重み関数と目標値を、新たな重み関数と複数の目標値に変換する。この変換により、元の問題における解が、少なくとも1つの新しい正確問題の解に対応するよう保証される。
• Karp の還元を用いて、変換後の正確問題を元の問題クラスに戻す。これにより、Yes インスタンスが少なくとも1つの変換照会の Yes インスタンスにマッピングされることが保証される。
• log N ≤ 2^{|U|} という仮定に依存しており、これにより重み表現が多項式サイズに保たれ、変換後のインスタンスのサイズを制限できる。
• 変換を、既存の正確アルゴリズム技法（例：ハッシュ化、補間）と組み合わせることで、Knapsack や巡回セールスマン問題などに対する、正確な指数的およびパラメータ化設定における改善されたアルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Knapsack のような範囲付き問題の計算複雑性は、その正確な対応物（例：Subset Sum）と、時間的・空間的効率の観点から多項式要因の範囲内で同等であるか？
• RQ2 正確問題における効率的な多項式空間アルゴリズムを、汎用的変換によって範囲付き問題へ拡張可能か？
• RQ3 重み付きの NP 困難問題（例：重み付き Vertex Cover, Dominating Set, Knapsack）は、|U| でパラメータ化した場合に多項式ランダム化チューリングカーネルを有するか？
• RQ4 解の同値性を失うことなく、擬似多項式時間で問題インスタンスの重みのサイズを縮小可能か？
• RQ5 変換がカウントを保つようにできるか？すなわち、元の問題の各解が、変換後の正確な照会の最大で1つの解に対応するか？

主な発見

• Subset Sum と Knapsack の時間的・空間的複雑性は、入力サイズの多項式要因の範囲内で同等である。これは、片方の改善がもう片方へも伝搬可能であることを示唆する。
• 提案された変換と動的計画法の組み合わせにより、スパarsなインスタンスに対して Knapsack の多項式空間アルゴリズムを実現可能である。
• Vertex Cover や Dominating Set や Knapsack の重み付きバージョンは、|U| でパラメータ化した場合に多項式ランダム化チューリングカーネルを有する。これは、これらの問題に対して初めての結果である。
• 変換により、任意の範囲付き問題が O(n² log(nN)) 個の正確な照会に還元され、各照会の重みは多項式的に有界になる。これにより、合計サイズが入力サイズに対して多項式的に保たれる。
• 本手法により、ハッシュ化や補間といった正確アルゴリズム技法を範囲付き問題に適用可能となり、巡回セールスマン問題などに対する改善されたアルゴリズムが得られる。時間計算量は O*(2^n W) となり、W は異なるハミルトニアン閉路重みの数を表す。
• 還元は高い確率で正しく保たれる：元の問題の Yes インスタンスは、少なくとも1つの変換照会の Yes インスタンスにマッピングされる。一方、No インスタンスが変換された照会集合内で Yes インスタンスにマッピングされる確率は、O(ε') 以下であり、これは任意に小さくできる。