[論文レビュー] Reducing Graph Transversals via Edge Contractions

Paloma T. Lima, Vinícius F. dos Santos+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、頂点被覆、フィードバック頂点集合、奇サイクル被覆といった不変量を考慮して、辺の縮約によるグラフ被覆のパrameterized複雑性を調査する。いくつかの被覆問題について、小さなパrameterに対してもco-NP困難であることを示している一方で、頂点被覆の削減はXPに属し、FPT時間内で2-近似可能であることが示され、異なる不変量における tractability の顕著な対比を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

For a graph parameter π, the Contraction(π) problem consists in, given a graph G and two positive integers k,d, deciding whether one can contract at most k edges of G to obtain a graph in which π has dropped by at least d. Galby et al. [ISAAC 2019, MFCS 2019] recently studied the case where π is the size of a minimum dominating set. We focus on graph parameters defined as the minimum size of a vertex set that hits all the occurrences of graphs in a collection ℋ according to a fixed containment relation. We prove co-NP-hardness results under some assumptions on the graphs in ℋ, which in particular imply that Contraction(π) is co-NP-hard even for fixed k = d = 1 when π is the size of a minimum feedback vertex set or an odd cycle transversal. In sharp contrast, we show that when π is the size of a minimum vertex cover, the problem is in XP parameterized by d.

研究の動機と目的

• 辺の縮約問題のパrameterized複雑性を、頂点被覆、フィードバック頂点集合、奇サイクル被覆といったグラフ被覆の削減に関して研究すること。
• グラフ不変量πに応じて、Contraction(π)問題が tractable か、intractable かを特定すること。
• k と d が固定された小さな値に対しても、問題がco-NP困難になる条件を同定すること。
• 特にパrameter d に関して、π が最小頂点被覆のサイズである場合のパrameterized tractability を探ること。

提案手法

• 著者たちは、族 H に対する包含関係の下で、グラフ族 H の最小被覆のサイズ π を表す Contraction(π) 問題を分析する。
• H に非クリークな2連結グラフや長さ ≥4 のパスを含むなどの特定の構造的仮定の下で、co-NP困難性を証明する。
• 頂点被覆の場合は、d にパラメータ化されたXPアルゴリズムを設計し、縮約グラフにおける小さなヒッティング集合の有界な探索を用いる。
• 頂点被覆数が小さい場合、修正されたグラフにおける小さな頂点被覆を推測することで、二部グラフ構造を活用して問題を解く。
• 全列挙を避けるために、候補となる縮約の数を制限する2-近似戦略を用いる。
• Courcelleの定理および木幅と二部グラフ修正に関する既知のFPTアルゴリズムを応用し、パラメータ化された tractability 結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π が最小フィードバック頂点集合のサイズまたは奇サイクル被覆のサイズである場合、k = d = 1 に対しても Contraction(π) 問題は co-NP困難か？
• RQ2 族 H に対して、Contraction(τ≺H) 問題が co-NP困難になる条件は何か？
• RQ3 Contraction(vc) 問題は、d にパラメータ化されたFPT時間で解けるか、それとも W[1]-困難か？
• RQ4 Contraction(vc) に対して、d に関してパラメータ化された近似スキームは存在するか？その近似比は何か？
• RQ5 H に平面グラフを含む場合、グラフの木幅は τ≺H(G) とどのように関係するか？

主な発見

• π が最小フィードバック頂点集合のサイズまたは奇サイクル被覆のサイズである場合、k = d = 1 に対しても Contraction(π) 問題は co-NP困難である。
• H に非クリークな2連結グラフまたは4本以上の辺を持つパスを含む場合、さまざまな包含関係の下で、問題は co-NP困難である。
• 頂点被覆の場合は、d にパラメータ化されたXPに属し、時間計算量 2^O(d) · n^O(1) で実行されるアルゴリズムが存在する。
• Min-Contraction(vc) 問題は、d にパラメータ化されたFPT時間で実行可能な2-近似アルゴリズムを有する。
• H に平面グラフを含み、≺ がマイナー関係である場合、問題は τ≺H(G) + k にパラメータ化されたFPTに属する。
• H = {P3}、H = {Kh}（h ≥3）の部分グラフ/誘導部分グラフ関係、および任意の木について、問題は未解決のままである。