[論文レビュー] Reducing the Complexity of Matrix Multiplication to $O(N^2log_2N)$ by an Asymptotically Optimal Quantum Algorithm

Jiaqi Yao, Ding Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2026

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 0

ひとこと要約

要約: 本論文は、量子カーネルベースの行列乗算（QKMM）アルゴリズムを導入し、O(N^2 log N) の漸近的に最適な量子ゲート複雑性を達成することで、古典的な最良の O(N^2.371552) を上回るとともに、ノイズなしおよびノイズありのシミュレーションが理論的および実用的な利点を検証する。

ABSTRACT

Matrix multiplication is a fundamental classical computing operation whose efficiency becomes a major challenge at scale, especially for machine learning applications. Quantum computing, with its inherent parallelism and exponential storage capacity, offers a potential solution to these limitations. This work presents a quantum kernel-based matrix multiplication algorithm (QKMM) that achieves an asymptotically optimal computational complexity of $ O(N^2 \log_2 N) $, outperforming the classical optimal complexity of $ O(N^{2.371552}) $, where $N$ denotes the matrix dimension. Through noiseless and noisy quantum simulation experiments, we demonstrate that the proposed algorithm not only exhibits superior theoretical efficiency but also shows practical advantages in runtime performance and stability.

研究の動機と目的

• AI や科学計算などの計算集約的タスクにおける高速な行列乗算の必要性を動機づける。
• 行列乗算を加速するための量子カーネルベースのフレームワーク（QKMM）を提案する。
• QKMM が漸近的に最適な O(N^2 log N) の量子ゲート複雑性を達成することを示す。
• QKMM を既知の古典的複雑性の最良値および既存の量子手法と比較する。
• ノイズレスおよびノイズありの量子シミュレーションと回路レベルの解析によりアプローチを検証する。

提案手法

• 振幅符号化データとカーネルベースの内積を用いた Quantum Kernel-based Matrix Multiplication (QKMM) を提案する。
• V2V（ベクトル対ベクトル）、V2M（ベクトル対行列）、M2M（行列対行列）、MMM（マルチ行列）の4つの回路ファミリを構築し、単一回路内で並列計算を可能にする。
• 多重制御振幅符号化とインデックスレジスタを用いて行と列をユニタリ行列へ写像する。
• N×N 行列のゲートベースの複雑性とキュービット要件を資源カウントで分析する。
• 各サブルーチンの回路設計（図を含む）と詳細な進化ステップを提供する。
• ノイズレスおよび現実的なノイズモデル下でのシミュレーションを実施し、適合度と頑健性を評価する。

Figure 1: Comparison of time complexity between QKMM algorithm and classical algorithms.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子カーネルベースのフレームワークは、行列乗算に対して漸近的に最適な量子ゲート複雑性を達成できるか。
• RQ2 QKMM は古典的最良値 O(N^2.371552) および既往の量子手法と比較して、資源数とスケーラビリティの点でどうか。
• RQ3 ノイズは QKMM の性能にどのような影響を与え、並列性は頑健性と適合度にどう影響するか。
• RQ4 V2V、V2M、M2M、MMM の各コンポーネントは全体のスピードアップと実用性にどう寄与するか。

主な発見

• QKMM は漸近的に最適な O(N^2 log N) の量子ゲート複雑性を達成し、大規模 N に対して O(N^2) 下界へ収束する。
• QKMM は古典的な最良の行列乗算境界 O(N^2.371552) を上回る。
• ノイズレスのシミュレーションでは、V2V、V2M、M2M、MMM の各バリアントで行列サイズの増大に伴い並列加速が著しい。
• ノイズ付きシミュレーションでは、次元とノイズ結合に伴い適合度が劣化し、深さが高い場合ゲートノイズが主要因として特定される。
• QKMM は現実的なノイズ下の内積タスクで Hadamard Test および Swap Test のベンチマークより高い適合度と誤差成長の遅さを示す。
• 本研究は完全な回路実装と古典的および既往の量子手法と直接比較できるゲートカウントベースの性能指標を提供する。

Figure 2: Time consumption analysis of matrix multiplication based on different quantum circuits; (a) Comparison of V 2 V computational efficiency; (b) Comparison of V 2 M computational efficiency; (c) Comparison of M 2 M computational efficiency; (d) Comparison of M-MM computational efficiency.