[論文レビュー] Reducing the number of variables of a polynomial

Enrico Carlini|ArXiv.org|Jul 26, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、同次多項式（形式）を表現するために必要な変数の数を最小化する問題を完全に解決する。本稿では、本質的変数（essential variables）の概念を導入し、最小変数数 $ N_{\text{ess}}(f) $ が $ f $ の最初のカタレティックント行列のランクに等しく、かつ本質的変数が $ (d-1)\text{th} $ 部分微分の空間を張ることを証明する。結果は CoCoA において実装され、実用的な計算が可能である。

ABSTRACT

In this paper, we consider two basic questions about presenting a homogeneous polynomial f: how many variables are needed for presenting f? How can one find a presentation of f involving as few variables as possible? We give a complete answer to both questions, determining the minimal number of variables needed, NEssVar(f), and describing these variables through their linear span, EssVar(f). Our results give rise to effective algorithms which we implemented in the computer algebra system CoCoA.

研究の動機と目的

• 同次多項式を表現するために必要な最小の変数数を特定すること。
• そのような最小表現を可能にする特定の線形形式（本質的変数）を同定すること。
• 多項式の本質的変数および最小変数表現を計算するための効果的アルゴリズムを開発すること。
• 代数幾何学における円筒の検出などの実用的問題への応用を試みること。

提案手法

• 本質的変数の数 $ N_{\text{ess}}(f) $ は、形式 $ f $ の最初のカタレティックント行列のランクとして計算される。
• 本質的変数は、$ f $ の $ (d-1)\text{th} $ 部分微分の線形空間として特定され、すなわち $ \text{EssVar}(f) = \langle D \circ f : D \in T_{d-1} \rangle $ である。
• アポラリー理論および多項式環と微分作用素の双対性を用いて理論的基盤を確立する。
• この手法は、$ T $ を微分作用素環とするとき、$ f^\perp \subset T $ である直交イデアルに依存する。
• 結果は CoCoA コンピュータ代数システムに実装されたアルゴリズムに翻訳される。
• アルゴリズムには、$ N_{\text{ess}}(f) $ の計算、本質的変数の特定、および $ f $ の最小変数表現の生成を目的とした関数が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた同次多項式を表現するために必要な最小の変数数は何か？
• RQ2 元の変数のどの線形結合が多項式の表現に十分か？
• RQ3 多項式の最小変数表現をアルゴリズム的にどのように特定できるか？
• RQ4 この理論は、代数的曲面における円筒などの幾何的構造の検出に応用可能か？
• RQ5 最小変数表現は、多項方程式の解法効率にどのように影響するか？

主な発見

• 同次多項式 $ f $ を表現するために必要な最小変数数 $ N_{\text{ess}}(f) $ は、その最初のカタレティックント行列のランクに等しい。
• 多項式 $ f $ の本質的変数は、$ f $ の $ (d-1)\text{th} $ 部分微分によって張られる、すなわち $ \text{EssVar}(f) = \langle D \circ f : D \in T_{d-1} \rangle $ である。
• 3次元空間における5次曲面に対して、同次化された多項式 $ f^h $ が3つの本質的変数に依存することが判明し、これが円筒であることを確認した。
• 4変数の3次多項式において、全次数2および3の項が1つの本質的変数 $ y_1 = x + y - 2z - 3t $ を用いて表現され、システムが1変数方程式に簡略化された。
• CoCoA に実装されたアルゴリズムにより、数値的解法の前処理として変数数を削減することが可能となり、効率的な前処理が実現された。
• 本手法により円筒の検出が有効に可能である：超曲面が円筒であるための必要十分条件は、$ N_{\text{ess}}(f^h) \leq \dim \text{ambient space} $ である。