[論文レビュー] Reduction and Integrability

Nguyen Tien Zung|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Lie群作用の下での力学系の可積分性とその縮約系の関係を確立する。ハミルトニアン可積分性は縮約ハミルトニアン可積分性と同値であることが証明されるが、非ハミルトニアン可積分性は縮約可積分性を示すが、逆は成り立たない。これは非ハミルトニアンの場合にベクトル場の標準的リフトが存在しないことによる。

ABSTRACT

We discuss the relationship between the integrability of a dynamical system invariant under a Lie group action and its reduced integrability, i.e. integrability of the corresponding reduced system.

研究の動機と目的

• 力学系の可積分性とリー群作用下でのその縮約系の関係を明確化すること。
• 文献において、可積分性が縮約によって保存されるかどうかの形式的取り扱いが不足しているという問題に取り組むこと。
• 可積分性が群による縮約の下でどのように振る舞うかについて、ハミルトニアンと非ハミルトニアンのケースを区別すること。
• 古典的力学およびポisson幾何学における縮約可積分性を理解するための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 第一積分および可換なハミルトニアンベクトル場の集合の関数的次元（ddim）を用いて、一般化されたリウヴィルの意味での可積分性を定義する。
• 平均化技術を用いて、全空間のG不変なベクトル場および第一積分を構成し、可換性および関数的独立性を保つ。
• 多様体およびその商多様体における次元数え上げの議論を用いて、可積分性の必要十分条件を確立する。
• 作用角座標の存在および準周期的ダイナミクスを保証するため、作用のモーメント写像および特異集合の像の非稠密性という適切な条件を活用する。
• 非ハミルトニアンの場合の障害を、小さな分母問題を通じて分析し、縮約可積分性が全可積分性を示さない理由を示す。
• ハミルトニアンの場合には、モーメント写像および関数からベクトル場への標準的リフトの存在に依存した局所的および大域的なリフトの議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群作用の下で、ポisson多様体上の系のハミルトニアン可積分性は、その縮約系の可積分性を含意するか？
• RQ2 非ハミルトニアン可積分性の系は、その縮約系の可積分性を含意するか？
• RQ3 非ハミルトニアンの場合に、ベクトル場の標準的リフトが存在しないために、縮約可積分性が全可積分性を含意しないことがあるか？
• RQ4 縮約系が元の系の適切さおよび正則性構造をどのような条件下で継承するか？
• RQ5 非ハミルトニアン設定において、商多様体から元の多様体への可換なベクトル場の標準的リフトは存在するか？

主な発見

• ハミルトニアンの場合、ポisson多様体上の系のハミルトニアン可積分性は、コンパクト群作用の下での商多様体上の縮約ハミルトニアン可積分性と同値である。
• 非ハミルトニアンの場合、元の系の可積分性は縮約系の可積分性を含意するが、逆は成り立たない。これはベクトル場の標準的リフトが存在しないことによる。
• G不変な設定において、可換なベクトル場および第一積分の空間の関数的次元は平均化によって保存され、これにより縮約系が可積分構造を継承することが保証される。
• モーメント写像の適切さ条件および特異集合の像の非稠密性により、縮約系は不変トーラス上で準周期的ダイナミクスを示す。
• 非ハミルトニアンの場合の小さな分母問題により、大域的第1積分の存在が妨げられ、縮約可積分性が全可積分性を含意しないことが示される。
• 証明は、正則不変トーラスの近傍で有効なトーラス作用の存在に依存しており、これはG作用と可換であり、可積分な場合にG不変なベクトル場を生成する。