[論文レビュー] Reduction criterion of separability and limits for a class of protocols of entanglement distillation

Michał Horodecki, Paweł Horodecki|ArXiv.org|Aug 7, 1997

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、2×2および2×3系における分離可能性の必要十分条件を示す還元基準を導入する。これは、転置写像を一般化する正写像を用いて定式化される。本稿では、この基準に反する任意の量子状態が、一般化されたもつれ抽出プロトコルを用いて最大もつれ状態に抽出可能であることを証明している。一方、この基準を満たす状態はいかなるプロトコルでも抽出不可能であり、高次元系における抽出可能性の根本的限界を確立している。

ABSTRACT

We analyse the problem of distillation of entanglement of mixed states in higher dimensional compound systems. Employing the positive maps method [M. Horodecki et al., Phys. Lett. A 223 1 (1996)] we introduce and analyse a criterion of separability which relates the structures of the total density matrix and its reductions. We show that any state violating the criterion can be distilled by suitable generalization of the two-qubit protocol which distills any inseparable two-qubit state. Conversely, all the states which can be distilled by such a protocol must violate the criterion. The proof involves construction of the family of states which are invariant under transformation $\varrho o U\otimes U^*\varrho U^\dagger\otimes U^{*\dagger}$ where $U$ is a unitary transformation and star denotes complex conjugation. The states are related to the depolarizing channel generalized to non-binary case.

研究の動機と目的

• 局所操作と古典的通信（LOCC）を用いて、どの混合量子状態が最大もつれ状態に抽出可能であるかという根本的問題に取り組む。
• 高次元系に一般化可能な、物理的動機付けを持つ正写像に基づく分離可能性基準を構築する。
• 還元基準の違反が有効な抽出プロトコルに対応することを示し、N×N系における抽出可能性の必要十分条件を確立する。
• 正だが完全正定値でない写像の物理的意味を、もつれ検出および抽出の文脈で明確化する。

提案手法

• 密度行列に作用する正写像 Λ(σ) = I Tr(σ) - σ を提案し、これにより還元基準が定式化される。
• Jamiołkowskiの同型写像を用いて、テンソル積空間における正写像と正演算子の等価性を分析し、写像の構造を解明する。
• 写像が分解可能である（具体的には Λ = T ∘ Γ で Γ が完全正定値）ことを示し、時間反転（転置）などの物理的操作と関連づける。
• 変換 ϱ → U⊗U*ϱU†⊗U*† に対して不変であるような状態の族を構築し、これは非二進系へのデポラライジングチャネルの一般化である。
• 還元基準を適用して、基準に反する任意の状態が、2キュービット抽出プロトコルの一般化版を用いて抽出可能であることを示す。
• 固有値分解と演算子表現を用いて、写像の部分的転置における正定値性が、その転置写像の完全正定値性を意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元系におけるすべての非分離混合状態は、LOCCプロトコルによって最大もつれ状態に抽出可能か？
• RQ2 N×N系において、抽出可能状態と非抽出可能状態を分ける操作的基準は何か？
• RQ3 還元基準はもつれの構造および密度行列への正写像の作用とどのように関係しているか？
• RQ4 還元基準は物理的に解釈可能であり、量子情報プロトコルにおいて測定可能または実装可能な操作に対応するか？
• RQ5 ユニタリ不変性および U⊗U* 変換に対する対称性は、抽出可能状態を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 還元基準は2×2および2×3系において分離可能性の必要十分条件であり、Peres基準を一般化する。
• 還元基準に反する任意の量子状態は、2キュービット抽出プロトコルの一般化版を用いて最大もつれ状態に抽出可能である。
• 還元基準を満たす状態は、2キュービットプロトコルと同じ構造に基づくいかなるプロトコルでも抽出不可能であり、根本的限界を確立する。
• 正写像 Λ(σ) = I Tr(σ) - σ は分解可能であり、物理的に意味を持つ。Λ = T ∘ Γ で Γ が完全正定値であるため、時間反転や物理的操作と関連づけられる。
• U⊗U* 変換に対して不変である状態の族は、非二進系へのデポラライジングチャネルの一般化であり、抽出閾値の証明において中心的役割を果たす。
• 還元基準は、部分的転置下での演算子 D = (P_+)_{A}⊗I - P_+ の正定値性と等価であり、物理的整合性と操作的関連性を確認する。