[論文レビュー] Reduction of a nonlinear system and its numerical solution using a fractional iterative method

A. Torres-Hernandez, F. Brambila-Paz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本論文は、非整数微積分に基づく分数階反復法を提案し、非線形代数的システムを解く。特に、ハイブリッド太陽受信器モデルからの5変数系を2変数の等価系に低減する。この方法により、定数の非ゼロの分数階微分を利用するため、一回の初期条件で高速かつロバストな数値解を得ることができ、環境パラメータが変化しても高精度な結果が得られる。

ABSTRACT

A nonlinear algebraic equation system of 5 variables is numerically solved, which is derived from the application of the Fourier transform to a differential equation system that allows modeling the behavior of the temperatures and the efficiencies of a hybrid solar receiver, which in simple terms is the combination of a photovoltaic system with a thermoelectric system. In addition, a way to reduce the previous system to a nonlinear system of only 2 variables is presented. Naturally, reducing algebraic equation systems of dimension N to systems of smaller dimensions has the main advantage of reducing the number of variables involved in a problem, but the analytical expressions of the systems become more complicated. However, to minimize this disadvantage, an iterative method that does not explicitly depend on the analytical complexity of the system to be solved is used. A fractional iterative method, valid for one and several variables, that uses the properties of fractional calculus, in particular the fact that the fractional derivatives of constants are not always zero, to find solutions of nonlinear systems is presented.

研究の動機と目的

• ハイブリッド太陽受信器モデルから導出された複雑な5変数非線形系を、より単純な2変数系に低減すること。
• 低減された系における解析的複雑性の増加に対しても有効な数値解法を開発すること。
• 明示的な解析的複雑性や分数階偏微分に依存しない分数階反復法を適用すること。
• 変動する直達日放射量（DNI）および周囲温度の下で、ハイブリッド太陽受信器の温度および効率の動的挙動をリアルタイムで計算可能にすること。
• 実環境データと数値的妥当性検証を用いて、本手法のロバスト性と収束性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、変数の消去および関数的代入の技術を用いて、元の5変数系から2変数非線形系への低減を実行する。
• 定数の分数階微分がゼロでないという性質に基づき、単一の初期条件からの収束を可能にする分数階反復法を導入する。
• 収束は分数階微分作用素を用いた分数階擬似ニュートン反復スキームによって制御され、収束は分数階数 α に依存する。
• 反復更新式は分数階微分の近似を用いて変数を更新し、解析的複雑性への依存を最小限に抑える。
• 収束は残差ノルムおよび解の差分を用いて監視され、リアルタイムの直達日放射量（DNI）および周囲温度データを用いて手法を検証する。
• 収束速度と安定性を向上させるために、分数階フレームワーク内に並列弦法を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッド太陽受信器をモデル化する5変数非線形系を、解の正確性を損なわずに2変数系に低減できるか？
• RQ2 高複雑性の低減系に対して、分数階反復法は古典的反復ソルバーに比べ、収束速度およびロバスト性で優れているか？
• RQ3 分数量微分を用いることで、非線形系において単一の初期条件で複数の解を求めることが可能か？
• RQ4 直達日放射量（DNI）および周囲温度（T_air）の実環境パラメータの変動下で、分数階反復法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 リアルタイムの太陽受信器モデル化において、本手法は計算負荷をどの程度低減できるか？

主な発見

• 5変数系は2変数系に成功裏に低減され、両系で同一の結果が得られることで、解の正確性が保持されたことが確認された。
• 19のテストケースにおいて、分数階反復法は727～1976回の反復で収束し、残差ノルムは10⁻²未満、解の差分は3.6×10⁻⁵未塔であった。
• 低減系の解（87）は元の系の解（79）と高い精度で一致しており、低減の妥当性が裏付けられた。
• 直達日放射量（DNI）および周囲温度の多様な入力に対し、本手法は一貫した収束行動を示し、ロバスト性を示した。
• 分数階微分の次数 α は1.17586から1.24828の間で変動し、システムのダイナミクスに敏感ではあるが、安定した収束が確認された。
• 元の5次元空間よりも2次元空間での解法計算が高速化され、リアルタイム実装の可能性が向上した。