[論文レビュー] Reduction of Abelian Varieties and Grothendieck's Pairing

Klaus Loerke|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、完全な残差体をもつ厳密ヘンゼルの離散付値体上のアーベル・多様体が、次を満たす場合に、$ 2g + 3 \leq p $ であるとき、その次元 $ g $ に対して、ターミナルに分岐する拡大の後で半安定還元をもつことを証明している。ここで $ p $ は残差特徴である。この結果を用いて、このような多様体に対してグローテンディークのペアリングの完全性を確立し、算術幾何におけるグローテンディークの双対ペアリング予想の主要なケースを解決する。

ABSTRACT

We prove that abelian varieties of small dimension over discrete valuated, stricty henselian ground fields with perfect residue class field obtain semistable reduction after a tamely ramified extension of the ground field. Using this result we obtain perfectness results for Grothendieck's pairing.

研究の動機と目的

• ネロンモデルの成分群上のグローテンディークのペアリングが完全になる条件を確立すること。
• 完全な残差体をもつ厳密ヘンゼルの離散付値体上に定義された小次元のアーベル多様体が、ターミナルに分岐する基底変換の後で半安定還元をもつことを証明すること。
• これまで半安定還元に対して確認されていたグローテンディークのペアリングの完全性を、還元理論を用いてより広いクラスのアーベル多様体へ拡張すること。
• ワイエル制限とガロア表現の技法を用いて、基底変換およびターミナルに分岐する拡大の下での成分群の挙動を分析すること。

提案手法

• 論文はネロンモデルと成分群の理論を用いて、双対ペアリングをポアンカレバンドルのネロンモデル上への拡張に関連づける。
• $ \operatorname{Biext}^1 $、$ \mathscr{G} $、および $ i_*\mathbb{Z} $ を含む正確な列を用いて、バイエクステンション理論とグローテンディークのペアリングを適用し、ペアリングをポアンカレバンドルの像として特定する。
• 主な技術的道具は、ガロア拡大 $ L/K $ 沿って $ A_L $ のネロンモデルのワイエル制限であり、そのワイエル制限が再びネロンモデルであることを示す。
• $ \ell $-進タートモジュール上のガロア群の作用を分析し、特に $ 2g + 3 \leq p $ の条件下でのプロ-$ p $-部分群の自明作用に注目する。
• もしプロ-$ p $-群が $ T_\ell(A_K) $ 上で自明に作用するならば、拡大 $ L^{\rm tr}/K $ はターミナルに分岐し、$ A_{L^{\rm tr}} $ は半安定還元をもつ。
• ガロアの基準および半安定還元の定理を適用して、成分群がターミナルに分岐する拡大の下で自明になることを示し、ペアリングの完全性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な残差体をもつ厳密ヘンゼルの離散付値体上のアーベル多様体が、ターミナルに分岐する基底変換の後で半安定還元をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 アーベル多様体のネロンモデルの成分群上のグローテンディークのペアリングが完全になるのはいつか？
• RQ3 アーベル多様体の次元と残差特徴 $ p $ は、半安定還元の存在およびペアリングの完全性にどのような制限をもたらすか？
• RQ4 ワイエル制限は、ガロア拡大に沿ってネロンモデルの性質をどのように転送するか？
• RQ5 条件 $ 2g + 3 \leq p $ を用いて、成分群の $ p $-部が自明になるようにでき、結果としてペアリングの完全性が保証されるか？

主な発見

• 完全な残差体 $ k $ をもつ厳密ヘンゼルの離散付値環上の次元 $ g $ のアーベル多様体が、$ 2g + 3 \leq p $ であるとき、ターミナルに分岐する拡大の後で半安定還元をもつ。
• このような多様体に対して、ネロンモデルの成分群の $ p $-部は自明であり、これは誘導写像 $ \mathfrak{A}' \to \widehat{\mathfrak{A}} $ が同型であることを示唆する。
• グローテンディークのペアリングの $ p $-以外の部は、[Be01] で既に確認されており、条件 $ 2g + 3 \leq p $ の下で全ペアリングは完全である。
• アーベル多様体 $ \mathfrak{A} $ の成分群が $ p $-群であることは、スキーム $ \mathscr{E}\!xt^1(A, \mathbb{G}_m) $ が連結であることと同値であり、これはペアリングが完全であることと同値である。
• 任意のアーベル多様体 $ A_K $ が、各々 $ 2 \cdot \dim B_{K,i} + 3 \leq p $ を満たす単純アーベル多様体 $ B_{K,i} $ の積に同種であるとき、グローテンディークのペアリングは完全である。
• $ A_L $ が半安定還元をもつ最小のターミナルに分岐する拡大 $ L/K $ のガロア群には、$ 2g + 3 $ より大きい素因数 $ q $ をもたない。これは分岐型を制限する。