[論文レビュー] Reduction of covers and Hurwitz spaces

Irene I. Bouw, Stefan Wewers|ArXiv.org|May 11, 2000

Holomorphic and Operator Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Galois被覆の良い還元に関するRaynaudの基準を、3つの分岐点から4つの分岐点へ拡張する。その条件として、Galois群が特定のSylow構造（n=2）を持つことが求められる。ホイッチャー空間の算術的コンパクト化を分析し、モジュラー曲線との関係を活用することで、素数pを法とする良い還元をもつ被覆の数を計算し、ホイッチャー空間の還元型を記述する。PSL₂(ℓ)被覆について、4つの分岐点を持つ場合の明示的な公式と成分構造が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study the reduction of Galois covers of curves, from characteristic 0 to characteristic p. The starting point is a is a recent result of Raynaud which gives a criterion for good reduction for covers of the projective line branch at 3 points. Under some condition on the Galois group, we extend this criterion to the case of 4 branch points. Moreover, we describe the reduction of the Hurwitz space of such covers and compute the number of covers with good reduction.

研究の動機と目的

• 正の特性における被覆の良い還元に関するRaynaudの基準を、3つから4つの分岐点へ一般化すること。
• 特に対称群の位数がpで割り切れるが、分岐指数はpで割り切れない場合に、射影直線上のGalois被覆の還元行動を研究すること。
• 算術的コンパクト化されたホイッチャー空間の構造を記述し、良い還元および悪い還元の成分を特定すること。
• 4点の場合のパrameter λ の一般値および特殊値に対して、良い還元をもつ被覆の数を計算すること。
• ホイッチャー空間の還元とモジュラー曲線との間の関係を確立すること、特にPSL₂(ℓ)被覆に対して。

提案手法

• Raynaudの安定還元技術を用いて、4点で分岐するG-被覆の還元を分析する。
• G-Galois被覆のモジュライ空間としてのホイッチャー空間Hを用い、Z上の算術的コンパクト化H̄を研究する。
• H̄^good および H̄^bad をそれぞれ、pを法とするコンパクト化されたホイッチャー空間の良い還元成分および悪い還元成分として定義する。
• H̄^good → P¹_λ という有限被覆を用いて、d^good（一般のλに対して良い還元をもつ被覆の数を数える次数）を計算する。
• 既知のモジュラー曲線X₁(p)の還元に関する結果を活用し、H̄^bad を非分離同種写像をパラメトライズする成分と特定する。
• 計算的手法を用いて、ℓ = 5, 7, 11, 19, 23, 29, 31 のPSL₂(ℓ)に対して、コンパクト化されたホイッチャー空間の既約成分の構造を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性において、射影直線上の4点で分岐するG-Galois被覆が、どのような条件下で良い還元をもつか。
• RQ2 特にパrameter λ に依存する分岐点の位置が、その被覆の還元型にどのように影響するか。
• RQ3 pを法とするホイッチャー空間の算術的コンパクト化の構造は何か。また、それが良い還元成分および悪い還元成分を分類するためにどのように利用できるか。
• RQ4 一般値および超特異値λに対して、良い還元をもつ被覆の数をどのように計算できるか。
• RQ5 ホイッチャー空間の還元とモジュラー曲線との間の関係は何か。特にPSL₂(ℓ)被覆に対して。

主な発見

• PSL₂(ℓ)被覆で、4つの分岐点が型 (ℓA,ℓA,ℓB,ℓB) または (ℓA,ℓA,ℓA,ℓA) の場合、良い還元をもつ被覆の数は、λ-直線上の良い成分の次数gdegで与えられる。
• 表に明示的なデータが示されている：ℓ=5、(AABB)型の場合、一般のλに対して良い還元をもつ被覆は2つ存在する。
• ℓ=11、(AABB)型で分岐指数が2²6²の場合、一般のλに対して良い還元をもつ被覆は4つであるが、λが超特異の場合には21に減少する。
• 0,1,∞ で分岐指数が2³1⁵6²5²の成分は、p=3およびp=5で悪い還元を示し、一般のλに対して21個の良い還元被覆をもつ。
• 0,1,∞ で分岐指数が1¹¹4⁶11⁵12⁴の成分は、p=3およびp=11で悪い還元を示し、一般のλに対して90個の良い還元被覆をもつ。
• ℓ=31の場合、分岐指数が3⁵2⁸15⁴5⁶4⁸8⁸の成分は、p=3およびp=5で悪い還元を示し、一般のλに対して142個の良い還元被覆をもつ。