[論文レビュー] Reduction of Dirac structures along isotropic subbundles

I. Calvo, Fernando Falceto+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正確なコルヌー代数ダルブのディラック部分バンドル $ D $ を、アイソトロピック部分バンドル $ S $ 沿いに変形するための標準的構成法—「ストレッチング」と呼ばれるもの—を導入する。その結果得られる新しいディラック部分バンドルを $ D^S $ と表す。主な結果は、定理4.1で示される十分条件であり、$ D $ と $ S $ がともに自己同型であるならば、$ D^S $ もまたディラック構造であることを保証する。これは、ディラックの制約理論、マーズデン＝ラティウの還元、およびポissonファイブレーションにおける結合構造を一般化するものである。

ABSTRACT

Given a Dirac subbundle and an isotropic subbundle of a Courant algebroid, we provide a canonical method to obtain a new Dirac subbundle. When the original Dirac subbundle is involutive (i.e., a Dirac structure) this construction has interesting applications, for instance to Dirac's theory of constraints and to the Marsden-Ratiu reduction in Poisson geometry.

研究の動機と目的

• コルヌー代数ダルブ内のディラック部分バンドルをアイソトロピック部分バンドルに沿って変形するための標準的手法を開発すること。
• 変形後の構造が自己同型である、すなわちディラック構造のままである条件を特定すること。
• 既知のディラック幾何学の構成、特に制約系におけるディラック括弧、マーズデン＝ラティウの還元、およびポアソンファイブレーションにおける結合構造を統一・一般化すること。

提案手法

• アイソトロピック部分バンドル $ S $ に沿ったディラック部分バンドル $ D $ のストレッチングを、$ D^S = (D \bigcap S^\bot) + S $ と定義する。これは最大アイソトロピックであることが示される。
• 閉3次形式 $ H $ を持つ $ TM \bigoplus T^*M $ 上のコルヌー代数ダルブ構造を用い、スプリッティングを介してアイソトロピックな像を持つ代数ダルブとして同定する。
• コルヌー括弧とアンカー写像を用いて $ D^S $ の自己同型性を分析。$ D $ が最大アイソトロピックであり、$ S \bigcap S^\bot $ を満たすことに着目する。
• $ S $ が $ D^S $ を保存し、定理4.1の条件（特にリー微分と形式の閉包性）を満たす場合、$ D^S $ が自己同型であることを確立する。
• ディラックの制約理論、マーズデン＝ラティウの還元、および結合構造を持つポアソンファイブレーションの3つの主要な文脈において、この構成を検証する。
• ブラヒクおよびフェルナンデスによるポアソンファイブレーションに関する既存の結果と、ストレッチング構成が等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック部分バンドル $ D $ をアイソトロピック部分バンドル $ S $ 沿いにストレッチングした場合、どのような条件下で再びディラック部分バンドルが得られるか？
• RQ2 このストレッチング構成は、制約付きハミルトニアン系におけるディラックの制約理論をどのように一般化するか？
• RQ3 ポアソン幾何学におけるマーズデン＝ラティウの還元は、このストレッチング手続きの特別な場合として回復可能か？
• RQ4 ストレッチング構成は、ポアソンファイブレーションにおける結合ディラック構造の理論をどのように統一・拡張するか？
• RQ5 $ D $ と $ S $ がともに自己同型であるとき、ストレッチド構造 $ D^S $ が自己同型であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• ストレッチング構成 $ D^S = (D \bigcap S^\bot) + S $ は、任意の正確なコルヌー代数ダルブにおいて、well-defined な最大アイソトロピック部分バンドルを定義する。
• 定理4.1は、$ D^S $ が自己同型であるための十分条件を提供する：$ S $ が $ D^S $ を保存し、形式および双ベクトル場に関するリー微分の条件を満たす場合。
• ディラックの制約理論におけるディラック括弧の構成は、このストレッチング手続きの特別な場合として得られる。
• ポアソン幾何学におけるマーズデン＝ラティウの還元は、$ D $ がポアソン双ベクトルのグラフであり、$ S $ が制約分布の annihilator に対応する場合に、ストレッチドディラック構造として回復可能である。
• ブラヒクおよびフェルナンデスが研究したポアソンファイブレーションにおける結合構造—これらは、ストレッチドディラック構造 $ D^S $ と一致する。積分可能性の条件は、定理4.1の要件と完全に一致する。