[論文レビュー] Reduction of Feynman graph amplitudes to a minimal set of basic integrals

O.V. Tarasov|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、任意の質量を有するプロパゲーターおよび任意の外部運動量を有する多ループフェ Feynマン積分を、最小限の基本積分の集合に簡約する体系的なアルゴリズムを提示する。一般化された漸化式を線形偏微分方程式（PDE）系に変換し、Standard Formアルゴリズムを適用することで、PDE系の解空間の次元を通じて有限かつ最小のマスターリンテグラルの基底を同定する。この手法により、量子場理論における複雑な振幅の解析的または数値的評価が可能となる。

ABSTRACT

An algorithm for the reduction of massive Feynman integrals with any number of loops and external momenta to a minimal set of basic integrals is proposed. The method is based on the new algorithm for evaluating tensor integrals, representation of generalized recurrence relations for a given kind of integrals as a linear system of PDEs and the reduction of this system to a standard form using algorithms proposed by G. Reid. Basic integrals reveal as parametric derivatives of the system in the standard form and the number of basic integrals in the minimal set is determined by the dimension of the solution space of the system of PDEs.

研究の動機と目的

• 任意の質量および外部運動量を有する多ループフェイニマン振幅を、最小限の基本積分の集合に簡約する一般的手法の開発。
• 異なる質量や非可約分子を有する図において、伝統的な部分積分法の限界を克服すること。
• 漸化式の代数的解析を通じて、マスターリンテグラルを体系的に同定するフレームワークの提供。
• テンソル積分およびスカラー積分を有限な基底に簡約することで、標準模型における複雑な振幅の実用的計算を可能とすること。

提案手法

• Ref. [1] の手法を用いて、テンソルおよび非可約分子を有する積分を、次元 $d$ をずらした空間におけるスカラー積分の組み合わせとして表現する。
• 任意の多ループ図（質量付き線を有する）に対して、部分積分法から一般化された漸化式を導出する。
• 漸化式系を質量変数に関する線形偏微分方程式（PDE）系に変換する。
• G. Reid の Standard Form アルゴリズムを適用して、主導およびパラメトリック導関数を有する正規形にPDE系を簡約する。
• 標準形におけるパラメトリック導関数を、元のフェイニマン振幅のマスターリンテグラルの最小集合として特定する。その数は解空間の次元に等しい。
• 得られた標準形を用いて漸化式を生成し、マスターリンテグラルの微分を用いた高次の積分の再帰的評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の質量および外部運動量を有する多ループフェイニマン積分を、最小基底のマスターリンテグラルに体系的に簡約する方法は何か？
• RQ2 簡約プロセスにおける独立性と最小性を保証する最適な漸化式集合とは何か？
• RQ3 テンソル積分および非可約分子を有する積分は、どのようにズラされた次元におけるスカラー積分で表現できるか？
• RQ4 与えられた図におけるマスターリンテグラルの数とPDE系の解空間との間にどのような関係があるか？
• RQ5 Standard Form アルゴリズムは、フェイニマン積分簡約に効果的に適用可能であり、一貫性のある正規形の漸化式系を達成できるか？

主な発見

• 最小基底に含まれるマスターリンテグラルの数は、導出された線形PDE系の解空間の次元によって決定される。
• PDE系の標準形におけるパラメトリック導関数は、元のフェイニマン振幅のマスターリンテグラルに正確に対応する。
• 本手法は、異なる質量や非可約分子を有する図に対しても、完全かつアルゴリズム的な解決を提供する。
• 標準形は一貫性を保証し、重複する漸化式を排除することで、最小かつ独立な関係の集合を保証する。
• 本手法により、マスターリンテグラルの微分を用いて高次の積分を体系的に評価できる。
• 本手法は一般性を有し、テンソル構造や複雑な質量パターンを有する任意の多ループ図に適用可能である。