[論文レビュー] Reduction of the dimension of nuclear C*-algebras

Luis Santiago|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

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ひとこと要約

この論文は、単純で投影をもたず、核となるC*-代数 $ \mathcal{W} $ を持つ、広範な核的C*-代数 $ A $ のクラスに対して、$ A \otimes \mathcal{W} $ の安定的階数が1であることを確立している。$ A \otimes \mathcal{W} $ が1次元非可換CW複体の帰納的極限に同型であることを証明しており、これにより分解階数1が得られ、投影をもたないC*-代数のトレース分類に関するロベルトの予想を支持する。

ABSTRACT

We show that for a large class of C*-algebras $\mathcal{A}$, containing arbitrary direct limits of separable type I C*-algebras, the following statement holds: If $A\in \mathcal{A}$ and $B$ is a simple projectionless C*-algebra with trivial K-groups that can be written as a direct limit of a system of (nonunital) recursive subhomogeneous algebras with no dimension growth then the stable rank of $A\otimes B$ is one. As a consequence we show that if $A\in \mathcal A$ then the stable rank of $A\otimes\mathcal W$ is one. We also prove the following stronger result: If $A$ is separable C*-algebra that can be written as a direct limit of C*-algebras of the form $\mathrm{C}_0(X)\otimes \mathrm{M}_n$, where $X$ is locally compact and Hausdorff, then $A\otimes \mathcal W$ can be written as a direct limit of a sequence of 1-dimensional noncommutative CW-complexes.

研究の動機と目的

• C*-代数 $ \mathcal{W} $ が単純で、投影をもたず、K理論が自明である核的C*-代数であるとき、$ A \otimes \mathcal{W} $ の安定的階数を求める。
• 分離可能な $ A $ が特定の部分単純代数に局所的に含まれる場合、$ A \otimes \mathcal{W} $ が1次元非可換CW複体の帰納的極限に同型であることを示す。
• 分離可能な核的C*-代数 $ A $ に対して、$ \mathrm{T}(A) \cong \mathrm{T}(B) $ ならば $ A \otimes \mathcal{W} \otimes \mathcal{K} \cong B \otimes \mathcal{W} \otimes \mathcal{K} $ が成り立つという、レオノエル・ロベルトの予想を支持する。
• 広範なクラスの $ A $ に対して、$ A \otimes \mathcal{W} $ の分解階数および核的次元が1であることを確立し、安定的有限かつ投影をもたない設定における分類理論を進める。

提案手法

• $ \mathcal{A} $ というC*-代数のクラスを、局所コンpactな $ X $ に対して $ \mathrm{C}_0(X) $ を出発点とし、行列代数とのテンソル積、遺伝的部分代数、イデアル、商、帰納的極限をとることで閉じる。
• 1次元非可換CW複体の半射性を用いて近似を上に持ち上げ、帰納的極限分解を構成する。
• $ \mathcal{W} $ が単純で、投影をもたず、核的であり、K群が自明で、一意なトレースを持つこと、および次元の増加のない再帰的部分単純代数の帰納的極限であることを活用する。
• $ \mathrm{C}[0,1]^\mathbb{N} \otimes \mathcal{W} $ が1次元NCCW複体の帰納的極限であるという結果を用い、商を介して $ \mathrm{C}(X) \otimes \mathcal{W} $（$ X $ はコンパクトハウスドルフ空間）へ拡張する。
• K1群が自明でない場合の構成ブロックに対応するように、RobertによるNCCW複体の分類結果を、安定性および半射性を用いて適応する。
• アヴェルソンの拡張定理と、帰納的極限における分解階数の安定性を用い、$ \mathrm{dr}(A \otimes \mathcal{W}) = 1 $ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能なタイプI C*-代数の帰納的極限である $ A $ に対して、$ A \otimes \mathcal{W} $ の安定的階数は何か？
• RQ2 $ A \in \mathcal{A} $ に対して、$ A \otimes \mathcal{W} $ は1次元非可換CW複体の帰納的極限として実現可能か？
• RQ3 $ A $ が $ \mathcal{B} $（部分単純代数のクラス）に局所的に含まれる場合、$ A \otimes \mathcal{W} $ の分解階数は1か？
• RQ4 $ A \otimes \mathcal{W} $ の構造は、投影をもたないC*-代数のトレース分類に関するロベルトの予想をどの程度支持するか？
• RQ5 $ \mathcal{W} $ に投影がなくK理論が自明であるという性質が、$ A \otimes \mathcal{W} $ の次元論にどのような影響を与えるか？

主な発見

• $ \mathcal{A} $ に属する任意の $ A $ に対して、$ A \otimes \mathcal{W} $ の安定的階数は1である。
• 分離可能なC*-代数 $ A $ が $ \mathcal{B} $ に局所的に含まれる場合、$ A \otimes \mathcal{W} $ は1次元非可換CW複体の列の帰納的極限に同型である。
• 分離可能な $ A $ が $ \mathcal{B} $ に局所的に含まれる場合、$ A \otimes \mathcal{W} $ の分解階数は1であり、構成ブロックのK1群が非自明であっても成り立つ。
• このような $ A $ に対して、$ A \otimes \mathcal{W} $ の核的次元も1である。これは分解階数の結果から直ちに従う。
• この結果は、$ A \otimes \mathcal{W} $ がAF代数ではないことを示しており、それは投影をもたず、分解階数が1であるためである。
• 証明により、任意のコンパクトハウスドルフ空間 $ X $ に対して、$ \mathrm{C}(X) \otimes \mathcal{W} $ が1次元NCCW複体の帰納的極限であることが示された。この証明には、半射性と商の構成が用いられた。