[論文レビュー] Reduction theory for mapping class groups and applications to moduli spaces

Enrico Leuzinger|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、写像類群の有限指数部分群に対する精確な還元理論を確立し、テイヒミュラー空間における明示的な基本領域を構成する。また、テイヒミュラー距離におけるモジュライ空間の漸近的コーンが、曲線複体の商複体上のユークリッド的コーンにリプシッツ同値であることを証明し、Farbの予想を確認する。$d(S) \geq 2$ のとき、テイヒミュラー距離のクasi-isometry類において、有限体積で一様に正のスカラー曲率をもつリーマン計量は存在しない。これはテイヒミュラー幾何および幾何的群論における重要な予想を解決する。

ABSTRACT

Let $S=S_{g,p}$ be a compact, orientable surface of genus $g$ with $p$ punctures and such that $d(S):=3g-3+p>0$. The mapping class group $ extup{Mod}_S$ acts properly discontinuously on the Teichmüller space $\mathcal T(S)$ of marked hyperbolic structures on $S$. The resulting quotient $\mathcal M(S)$ is the moduli space of isometry classes of hyperbolic surfaces. We provide a version of precise reduction theory for finite index subgroups of $ extup{Mod}_S$, i.e., a description of exact fundamental domains. As an application we show that the asymptotic cone of the moduli space $\mathcal M(S)$ endowed with the Teichmüller metric is bi-Lipschitz equivalent to the Euclidean cone over the finite simplicial (orbi-) complex $ extup{Mod}_S\backslash\mathcal C(S)$, where $\mathcal C(S)$ of $S$ is the complex of curves of $S$. We also show that if $d(S)\geq 2$, then $\mathcal M(S)$ does \emph{not} admit a finite volume Riemannian metric of (uniformly bounded) positive scalar curvature in the bi-Lipschitz class of the Teichmüller metric. These two applications confirm conjectures of Farb.

研究の動機と目的

• テイヒミュラー空間上で作用する有限指数、ねじれなし、純粋な写像類群部分群に対する精確な還元理論の構築。
• そのような部分群がテイヒミュラー空間上で作用する明示的な基本領域の構成。
• 漸近的コーンを用いたモジュライ空間の大規模幾何の分析。
• テイヒミュラー距離のクasi-isometry類において、有限体積で一様に正のスカラー曲率をもつ計量が存在しないというFarbの予想の解決。
• ノルム群の強いノビコフ予想を用いた粗いインデックス理論による正のスカラー曲率の幾何的障害の確立。

提案手法

• 曲線複体 $ \mathcal{C}(S) $ の頂点 $ \alpha $ に付随する長さ関数 $ l_\alpha(x) $ を用いて、テイヒミュラー空間のタイル張りを構成し、$ \varepsilon $-厚み領域 $ \textup{Thick}_\varepsilon\mathcal{T}(S) $ を定義する。
• 曲線複体の単体的分解と $ \varepsilon $-厚み領域を用いて、モジュライ空間 $ \mathcal{M}(S) = \Gamma \backslash \mathcal{T}(S) $ の $ \Gamma $-不変なタイル張りを定義する。
• 曲線複体の構造とその商を活用し、$ \mathcal{M}(S) $ の漸近的コーンが、$ \Gamma \backslash |\mathcal{C}(S)| $ 上のユークリッド的コーンにリプシッツ同値であることを証明する。
• 厚み領域の境界近傍におけるFN座標 $ (\theta, u) $ を用い、$ \mathcal{B}_{\varepsilon_0}(\tau) \times \mathbb{R}_{\geq 0}^{d(S)} $ に微分同相なコーン型構造をモデル化する。ここで $ \mathcal{B}_{\varepsilon_0}(\tau) \cong T^{d(S)} $ である。
• ハイパーサーフェス $ Q \subset \mathbb{R}_{\geq 0}^{d(S)} $ を用いて、$ \mathcal{M}(S) $ の粗く除去可能な分解 $ (A, B) $ を構成し、交わり $ V = A \cap B \cong T^{d(S)} \times \mathbb{R}^{d(S)-1} $ を得る。
• ノルム群の強いノビコフ予想と一般化された粗いインデックス理論を適用し、ディラック作用素のインデックスが非ゼロであることを示し、テイヒミュラー距離のクasi-isometry類において一様に正のスカラー曲率計量が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $ \mathcal{M}(S) $ のテイヒミュラー距離における漸近的コーンは、有限単体複体上のユークリッド的コーンにリプシッツ同値か？
• RQ2 $ d(S) \geq 2 $ のとき、モジュライ空間 $ \mathcal{M}(S) $ は、テイヒミュラー距離のクasi-isometry類において、有限体積で一様に正のスカラー曲率をもつリーマン計量を有するか？
• RQ3 写像類群の有限指数部分群に対する還元理論を、テイヒミュラー空間における明示的な基本領域を用いて精確に構築できるか？
• RQ4 テイヒミュラー距離にクasi-isometric な一様に正の曲率計量が存在しない理由となる幾何的または位相的障害は何か？
• RQ5 特に、その商 $ \Gamma \backslash \mathcal{C}(S) $ を含む曲線複体 $ \mathcal{C}(S) $ の構造は、$ \mathcal{M}(S) $ の大規模幾何をどのように制御するか？

主な発見

• テイヒミュラー距離を備えたモジュライ空間 $ \mathcal{M}(S) $ の漸近的コーンは、有限単体複体 $ \Gamma \backslash \mathcal{C}(S) $ 上のユークリッド的コーンにリプシッツ同値であり、Farbの予想を確認する。
• $ \Gamma \backslash |\mathcal{C}(S)| $ が球面単体の和集合であることから、CAT(1)性をもち、結果として漸近的コーンはCAT(0)であるため、可縮である。
• $ d(S) \geq 2 $ のとき、モジュライ空間 $ \mathcal{M}(S) $ は、テイヒミュラー距離のリプシッツ同値類において、有限体積で一様に正のスカラー曲率をもつリーマン計量を有さない。
• ノルム群の強いノビコフ予想により、普遍被覆 $ \mathcal{T}(S) $ 上のディラック作用素の一般化された粗いインデックスが非ゼロであるため、そのような計量の存在が妨げられる。
• $ A \cap B \cong T^{d(S)} \times \mathbb{R}^{d(S)-1} $ を満たす粗く除去可能な分解 $ (A, B) $ の構成により、K理論的インデックス理論を用いた幾何的障害の検出が可能になる。
• 本結果により、Farbの予想が確認され、ChangおよびBlock-Weinbergerの先行結果がリーマン曲面のモジュライ空間の設定へと拡張される。