[論文レビュー] Reduction theory for symmetry breaking

François Gay–Balmaz, Cesare Tronci|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称性の破れを示す系に対してEuler-Poincaré方程式を定式化し、ベクトル空間から一般の多様体へ理論を拡張する。特に、物性物理学における秩序パラメータ空間を対象とする。この枠組みをネマチック粒子、柔軟部品を有する宇宙船、超流動体に適用し、回転運動のKaluza-Klein幾何的定式化とラグランジュ還元を通じて、多様な力学を統一的に扱う。

ABSTRACT

We formulate Euler-Poincaré equations for systems with broken symmetry. In particular, we consider the action of a Lie group O (the broken symmetry) on a manifold M, thereby extending the well known case when M is a vector space. In condensed matter physics, M is known as the order parameter space and we provide several examples of how the present treatment applies in this framework, with special emphasis on nematic particles. The Euler-Poincaré approach is also derived from the theory of Lagrangian reduction, which in turn provides a Kaluza-Klein formulation of rotational dynamics for nematic particles. On the Hamiltonian side, the more general case of an order parameter Poisson manifold is known to apply to the dynamics of spacecrafts with flexible components. We show how this case also recovers superfluid dynamics as well as recent models for image morphing. Contents 1

研究の動機と目的

• Oがベクトル空間ではなく一般の多様体Mに作用する場合、Euler-Poincaré還元を対称性の破れを示す系へ一般化すること。
• 物性物理学における秩序パラメータ空間に適用可能な幾何的枠組みを提供すること、特に方向秩序を示すネマチック粒子に対して。
• 非自明な対称性の破れを示す系へラグランジュ還元技術を拡張し、複雑系における回転運動の統一的取り扱いを可能とすること。
• ポisson多様体上での理論のハミルトニアン定式化を提示し、柔軟部品を有する宇宙船や画像変形モデルへの適用可能性を示すこと。
• 提案された対称性の破れ還元枠組みの特殊ケースとして超流動力学を回復できることを示し、広範な物理的関連性を強調すること。

提案手法

• O（対称性の破れを示す群）が作用する一般の多様体Mの接 bundle 上での変分原理からEuler-Poincaré方程式を導出する。
• O対称性を示す系にラグランジュ還元を適用し、商空間M/O上の還元された力学を得る。運動量写像が対称性制約を記述する。
• ネマチック粒子の回転運動を、回転群を秩序パラメータ空間上への主束として扱うことで、Kaluza-Klein定式化を構築する。
• ポisson多様体の理論を用いてハミルトニアン定式化を一般化し、柔軟部品を有する宇宙船や画像変形に適した非線形秩序パラメータ空間を扱えるようにする。
• 還元されたEuler-Poincaré方程式と、超流動性および画像変形の既知のモデルとの対応関係を確立し、一貫性と統一性を示す。
• 接続および主束上の曲率を含む微分幾何的力学の道具を用い、対称性の破れを示す系の有効な力学を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群の対称性の破れを示す系において、Euler-Poincaré還元形式主義をベクトル空間から一般の多様体へどのように拡張できるか。
• RQ2 秩序パラメータ空間がベクトル空間ではない場合、ネマチック粒子の回転運動の幾何的構造はどのようなものか。
• RQ3 O作用を伴う多様体上でのラグランジュ還元が、回転運動の整合的なKaluza-Klein定式化をどのように導くか。
• RQ4 秩序パラメータ空間のポisson多様体定式化が、柔軟部品を有する宇宙船や画像変形の力学をどのように一般化するか。
• RQ5 提案された対称性の破れ還元枠組みの特殊ケースとして超流動力学を回復できるか。

主な発見

• 本稿は、ベクトル空間に限らない一般の多様体上で対称性の破れを示す系に対してEuler-Poincaré還元を成功裏に一般化し、より広範な幾何的基盤を提供した。
• ネマチック粒子の回転運動のKaluza-Klein定式化は還元プロセスから自然に導かれ、幾何学と物理的挙動の間の関係を明確にした。
• 理論は、ネマチック粒子、柔軟部品を有する宇宙船、画像変形を統一的に一つの幾何的還元枠組みで扱えることを示した。
• 超流動力学は、提案された形式主義の極限ケースとして回復され、既存のモデルと一貫していることを確認した。
• ポisson多様体上でのハミルトニアン定式化により、非自明な秩序パラメータ空間を有する複雑系の記述が可能となり、線形モデルを超えた拡張が達成された。
• この枠組みは、対称性の破れ原理に従って、凝縮系および流体力学の分野に広く適用可能な、還元された運動方程式を体系的に導出する手法を提供した。