[論文レビュー] Reductions on Double Occurrence Words

Ryan Arredondo|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

semigroups and automata theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二重出現語のネストインデックス（空語に還元するのに必要な最小の還元操作回数）を、コード図とサークルグラフを分析的手段として用いて導入する。また、ネストインデックスが同型なサークルグラフにおいて不変でないことを示し、同一のサークルグラフを持つ語であっても、ネストインデックスに任意に大きな差が生じ得ることを示し、与えられたネストインデックスを達成するための最小語長に関する予想を提示する。

ABSTRACT

In the present paper we consider biologically motivated reduction operations on double occurrence words. Then we define the nesting index of a double occurrence word to be the least number of reduction operations it takes for a word to be reduced to the empty word. We use chord diagrams and circle graphs as tools to study the nesting index of double occurrence words.

研究の動機と目的

• ゲノム再配置モデルにおける構造的複雑性の尺度として、二重出現語のネストインデックスを定義し、その性質を調査すること。
• ネストインデックスとコード図およびサークルグラフの位相的不変量との関係を調査すること。
• ネストインデックスがサークルグラフの同型写像のもとで保存されるかどうかを特定し、与えられたネストインデックスを達成するための最小語長を探索すること。
• ネストインデックスのカウントを計算し、その表を用いて最小語長に関する予想を立てる。

提案手法

• 図形虫におけるゲノム再配置の生物学的パターンに基づいて、二重出現語に対する還元操作を定義する。
• コード図を用いて二重出現語を表現し、その構造的性質を分析する。
• コード図からサークルグラフを構成し、頂点を弦、辺を交差を表すように定義する。
• スパース部分語解析を用いて1還元可能な語を特徴づけ、還元可能性の条件を導出する。
• 同型なサークルグラフを持つがネストインデックスが異なる語を比較し、インデックスがグラフ不変量でないことを示す。
• 語長とネストインデックスごとの二重出現語のカウント表を生成し、最小語長に関する予想を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重出現語のネストインデックスは、関連するサークルグラフの同型写像のもとで保存されるか？
• RQ2 ネストインデックス n を達成するための最小の文字数は何か？
• RQ3 スパース部分語とコード図の部分構造を用いて、ネストインデックスを完全に特徴づけられるか？
• RQ4 ネストインデックスが不変でないにもかかわらず、それに相関するサークルグラフの構造的不変量は存在するか？
• RQ5 同じサークルグラフとネストインデックスを実現する異なる二重出現語の数に、普遍的な上限が存在するか？

主な発見

• ネストインデックスはサークルグラフの同型写像のもとで不変でない：同型なサークルグラフを持つ語であっても、ネストインデックスに任意に大きな差が生じ得る。
• 任意の n≥1 に対して、同型なサークルグラフとネストインデックスの差が n−1 である二重出現語が存在する。
• 本稿では、ネストインデックスが1から10、語長が1から9のすべての二重出現語のカウント表を提供する。
• 予想を提示する：ネストインデックス n を達成するための最小文字数は、n−s である。ここで s は n より小さい非ゼロ平方数の個数である。
• 1還元可能な二重出現語の特徴づけが与えられる：語が1還元可能であるための必要十分条件は、部分語 123213、123132、121323 を含まないことである。
• 弦図 C_{(n−1)×(n−1)} に対応する語のネストインデックスが n に等しいことが示され、任意の n∈ℕ に対してネストインデックス n を持つ語が存在することを証明する。