[論文レビュー] Redundancy for localized and Gabor frames

Radu Bălan, Pete Casazza+1 more|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局在化理論から導かれる冗長性関数を用いて、無限フレームに対する定量的冗長性の概念を確立する。$ε$-局在化フレームおよび$M^1(\mathbb{R}^d)$に属する生成関数をもつガボールフレームに関して、冗長性が1より大きい任意のフレームは、1に限りなく近い冗長性を持つ部分フレームを含むことが証明され、フレーム理論における重要な未解決問題を解決する。この結果は、先行研究で提案された一般化された冗長性定義を支持するものである。

ABSTRACT

Redundancy is the qualitative property which makes Hilbert space frames so useful in practice. However, developing a meaningful quantitative notion of redundancy for infinite frames has proven elusive. Though quantitative candidates for redundancy exist, the main open problem is whether a frame with redundancy greater than one contains a subframe with redundancy arbitrarily close to one. We will answer this question in the affirmative for $\ell^1$-localized frames. We then specialize our results to Gabor multi-frames with generators in $M^1(\R^d)$, and Gabor molecules with envelopes in $W(C,l^1)$. As a main tool in this work, we show there is a universal function $g(x)$ so that for every $ε>0$, every Parseval frame $\{f_i\}_{i=1}^M$ for an $N$-dimensional Hilbert space $H_N$ has a subset of fewer than $(1+ε)N$ elements which is a frame for $H_N$ with lower frame bound $g(ε/(2\frac{M}{N}-1))$. This work provides the first meaningful quantative notion of redundancy for a large class of infinite frames. In addition, the results give compelling new evidence in support of a general definition of reudndancy given in [7].

研究の動機と目的

• 無限フレームに対する意味のある定量的冗長性測度を構築し、フレーム理論における長年の未解決問題に取り組む。
• 冗長性が1より大きいフレームが、1に限りなく近い冗長性を持つ部分フレームを含むことを示し、冗長性の主要な望ましい性質を満たす。
• 冗長性関数が4つの基本的性質（特に、冗長性を1に近づける能力を含む）を満たすことを示し、それが正当な測度であることを検証する。
• 生成関数が$M^1(\mathbb{R}^d)$に属するガボールフレームおよび$W(C,\ell^1)$型包絡線をもつガボールモレキュールに対しても、この枠組みを拡張する。

提案手法

• パーシバルフレームの部分フレームの下位フレーム境界を、部分フレームの相対的サイズで表す普遍関数$g(x)$を導入する。
• $\ell^1$-局在化をフレーム$\mathcal{F}$と基準フレーム$\mathcal{E}$の間で用い、$\mathcal{F}$の冗長性を写像$a: I \to G$の密度に関連付ける。
• インデックス集合の増大する部分集合における$p$-極限を用いて、漸近的平均冗長性を捉える冗長性関数$R(p; \mathcal{F})$を定義する。
• 生成関数$g \in M^1(\mathbb{R}^d)$のとき、ガボールフレームが基準ガボールフレーム$\mathcal{E}$に関して$\ell^1$-局在化されることを示し、冗長性関数の適用を可能にする。
• $\ell^2$-局在化フレームでは$R(p; \mathcal{F}) = D(p,a) \cdot R(p; \mathcal{E})$が成り立ち、主な結果ではこれを$\ell^1$-局在化フレームへ拡張する。
• $\liminf R(p; \mathcal{E}_n) = 1$を満たす基準フレーム$\mathcal{E}_n$の列の存在を用い、$\mathcal{F}$の部分フレームで冗長性$\leq 1+\varepsilon$となるものを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 冗長性が1より大きい任意のフレームは、1に限りなく近い冗長性を持つ部分フレームを含むか？
• RQ2 特にガボールフレームおよび局在化フレームに対して、無限フレームに普遍的な定量的冗長性測度を定義できるか？
• RQ3 冗長性関数は、$\ell^1$-局在化フレームに対して、$P_1$から$P_4$までの4つの主要な性質を満たすか？
• RQ4 自然な密度を持たないフレームに対して、[5]で提案された一般定義と冗長性関数は整合性を持つか？
• RQ5 生成関数が$M^1(\mathbb{R}^d)$に属するガボールフレームの冗長性は、その部分フレームの冗長性とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の$\varepsilon > 0$に対して、$N$次元ヒルベルト空間内のパーシバルフレーム$\{f_i\}_{i=1}^M$は、$(1+\varepsilon)N$未満の要素からなる部分集合を持ち、その下位フレーム境界は$g(\varepsilon / (2M/N - 1))$に等しい。
• $\ell^1$-局在化フレーム$\mathcal{F}$が基準フレーム$\mathcal{E}$に関して、任意の$\varepsilon > 0$に対して、$R(p; \mathcal{F}[J_\varepsilon]) \leq (1+\varepsilon)R(p; \mathcal{E})$をすべての$p \in \mathbb{N}^*$で満たす部分フレーム$\mathcal{F}[J_\varepsilon]$が存在する。
• $g \in M^1(\mathbb{R}^d)$であるガボールフレーム$\mathcal{G}(g;\Lambda)$に関して、任意の$\varepsilon > 0$に対して、$R(p; \mathcal{G}') \leq 1+\varepsilon$をすべての$p \in \mathbb{N}^*$で満たす部分フレーム$\mathcal{G}' = \mathcal{G}(g;J_\varepsilon)$が存在する。
• すべての$p \in \mathbb{N}^*$に対して$R(p; \mathcal{F}) \geq 1$であり、$\mathcal{F}$がリース基底であるとき$R(p; \mathcal{F}) = 1$である。
• 同じ局在化写像をもつ2つの$\ell^1$-局在化フレーム$\mathcal{F}_1$および$\mathcal{F}_2$に関して、それらの不交和$\mathcal{F}_1 \dot{\sqcup} \mathcal{F}_2$の冗長性は$R(p; \mathcal{F}_1 \dot{\sqcup} \mathcal{F}_2) = R(p; \mathcal{F}_1) + R(p; \mathcal{F}_2)$を満たす。
• 冗長性関数は$P_1$から$P_4$までのすべての性質を満たしており、これは$\ell^1$-局在化フレームおよびガボールフレームに対して、それが定量的冗長性測度として適切であることを確認する。