[論文レビュー] Reeb components with complex leaves and their symmetries I : The automorphism groups and Schröder's equation on the half line

Tomohiro Horiuchi, Yoshihiko Mitsumatsu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体における複素葉をもつリーブ成分の自己同型群について検討し、半直線上でのシュレーディンガーの関数方程式を満たす微分同相写像に注目する。境界における線形ホロノミーが自明であるとき、自己同型群は無限次元ベクトル空間を含むことが証明される。それ以外の場合は、有限次元になる。この結果は、中心多様体理論および線形部分が自明な拡大微分同相写像の解析を用いて得られる。

ABSTRACT

We review the standard Hopf construction of Reeb components with leafwise complex structure and determine the group of leafwise holomorphic smooth automorphisms for tame Reeb components in the case of complex leaf dimension one. For this, we solve the Schröder type functional equation on the half line for expanding diffeomorphism. As a result, we see that the automorphism group of one with trivial linear holonomy on the boundary contains an infinite dimensional vector space, while in the case of non-trivial linear holonomy the group is of finite dimensional.

研究の動機と目的

• 3次元多様体における複素葉をもつ、非特異なリーブ成分について、葉に沿った正則的で滑らかな自己同型のなす群の構造を特定すること。
• 原点における線形部分が自明な拡大微分同相写像に対して、半直線上でのシュレーディンガー型関数方程式を解くこと。
• 線形ホロノミーが自明な場合に自己同型群が無限次元になることと、そうでない場合に有限次元になるという二分岐の仕組みを明確にすること。
• 古典的手法が失敗する場合に、中心多様体理論および正規形技法を用いて関数方程式を解くこと。
• 平坦でない場合と平坦な場合の両方の微分同相写像に対して、シュレーディンガー方程式の解の滑らかさを統一的に証明すること。

提案手法

• 原点における線形部分が自明な拡大微分同相写像に対して、半直線上でのシュレーディンガー型関数方程式を解く。これはリーブ成分のホロノミーをモデル化する。
• 微分同相写像によって定義される引き戻し作用素に中心多様体理論を適用し、$ H_c $ を用いた共役を介して不変グラフを構成する。
• 2段階の構成法を用いる：まず、摂動 $ \tilde{\varphi}_\delta $ を定義し、次にリーマン・リプシッツノルムを制御するように変更された微分同相写像 $ \Phi_c $ を定義する。
• 平坦な場合には、タケンの正規形とフーリエ級数を用い、非平坦な場合には一様な中心多様体アプローチを用いる。
• $ \Phi_c $ と線形写像 $ T(x,z) = (x, \lambda z) $ の間のリーマン・リプシッツ距離を制御することで、解の $ C^r $ 正則性を確立し、その後 $ r \to \infty $ の極限を取る。
• $ H_c $ を用いた共役により、不変グラフを元の系に移し、解 $ \beta $ の滑らかさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の葉における線形ホロノミーが自明であるとき、3次元における複素葉をもつリーブ成分の自己同型群の構造はどのようになるか？
• RQ2 線形ホロノミーが非自明である場合、自己同型群はどのように変化し、無限次元と有限次元の二分岐の背後にある理由は何か？
• RQ3 線形部分が自明な拡大微分同相写像に対して、中心多様体理論を用いて半直線上のシュレーディンガー関数方程式を解くことができるか？
• RQ4 標準的な正規形手法が失敗する、恒等写像に平坦な微分同相写像を取り扱うために必要な技法は何か？
• RQ5 平坦な場合と平坦でない場合の両方に適用可能な、シュレーディンガー方程式を解く統一的アプローチは存在するか？

主な発見

• 線形ホロノミーが自明であるとき、リーブ成分の自己同型群は、滑らかな葉に沿った正則的自己同型の無限次元ベクトル空間を含む。
• 線形ホロノミーが非自明であるとき、自己同型群は有限次元であり、対称性構造に明確な対比が生じる。
• 原点における線形部分が自明な拡大微分同相写像に対して、半直線上のシュレーディンガー方程式の解は存在し、滑らか（実際には $ C^\infty $）である。
• 証明は、共役された微分同相写像 $ \Phi_c $ に中心多様体理論を適用することに依拠しており、不変グラフは解 $ \beta $ に対応する。
• パラメータ依存の摂動族を用い、共役のリーマン・リプシッツノルムを制御することで、平坦でない場合と平坦な場合の両方を統一的に扱う。
• 解 $ \beta $ が原点で平坦であることが示され、これは自己同型が無限階の意味で恒等写像に接する、すなわち無限次元の対称性を示す。