[論文レビュー] Reedy Model Structures in Families

Edouard Balzin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、再帰的圏上に族として与えられたモデル圏の断片の圏にReedyモデル構造が存在するための条件を確立する。『正規化された断片』の概念を導入し、相対的ラッチングおよびマッチング写像を活用することで、$(\infty,1)$-圏の断片を厳密に表現するモデル構造を構成する。これは古典的なReedyモデル構造を族としてのモデル圏へ一般化するものである。

ABSTRACT

Given a family of model categories $\cal E o \cal R$ over a Reedy category, we outline a set of conditions which lead to the existence of a Reedy model structure on the category of sections ${\sf Sect}(\cal R, \cal E)$. We prove that for a wide class of examples, this model structure serves as a strictification of the $(\infty,1)$-category of sections of the higher-categorical family associated to $\cal E o \cal R$.

研究の動機と目的

• 再帰的圏上にインデックスづけられたモデル圏の族への古典的Reedyモデル構造の一般化。
• モデル圏の族の断片の圏を定義・研究し、モデル圏への関手の概念を一般化する。
• 断片の$(\infty,1)$-圏を厳密に表現するReedy型のモデル構造を断片に構成し、ホモトピー的整合性を保証する。
• このモデル構造が存在するための条件を提供し、族の高階圏的構造と整合するようにする。
• Quillenのプレシェーブや単体的対象上の正規化モデル構造といった古典的構成を一般化する。

提案手法

• 再帰的圏$\mathcal{R}$上に族$\mathcal{E} \to \mathcal{R}$が与えられたとき、各$x \in \mathcal{R}$に対して$\mathcal{E}(x)$がモデル圏であるとして、断片の圏$\mathsf{Sect}(\mathcal{R}, \mathcal{E})$を定義する。
• 退化的対象上でラッチング写像が消えることを要件として『正規化された断片』を定義し、Reedy構造と整合性を保つ。
• 相対的ラッチングおよびマッチング写像を用いて、$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$にモデル構造を構成し、ファイブレーションは$\mathcal{E}(x)$におけるマッチング写像がファイブレーションであることで定義される。
• 次数ごとの帰納法を用いて分解を構成し、各ファイバー$\mathcal{E}(x)$における分解の存在と$\mathcal{X}$上のReedy構造を活用する。
• 非退化的対象の部分圏にReedyモデル構造を適用し、押し出しと同型を用いて退化的対象へ拡張する。
• ファイブレーションと分解の公理を、ファイバー単位のモデル構造に還元し、Reedy圏の一意的分解性を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的圏上に族として与えられたモデル圏の断片の圏にReedyモデル構造が存在するための条件は何か？
• RQ2 モデル圏の族の断片の$(\infty,1)$-圏をQuillenモデル構造によって厳密に表現できるか？
• RQ3 正規化された断片はReedy構造とホモトピー的整合性を保つために果たす役割は何か？
• RQ4 断片の圏における相対的ラッチングおよびマッチング写像は、個々のファイバーにおけるモデル構造とどのように関係するか？
• RQ5 インデックス圏上でモデル圏が変化する族に対して、古典的Reedyモデル構造$\mathsf{Fun}(\mathcal{R}, \mathcal{M})$を一般化できるか？

主な発見

• 族$\mathcal{E} \to \mathcal{X}$が適切な条件（各ファイバーにおける極限・余極限の存在を含む）を満たすとき、正規化断片の圏$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$にReedyモデル構造が存在する。
• $\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$上のモデル構造は、弱同値とファイブレーションを対象ごとに定義し、非退化的$x$に対しては相対的マッチング写像が$\mathcal{E}(x)$でファイブレーションであることで決定される。
• $\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$におけるコイブレーションはまさにReedyコイブレーションであり、非自明コイブレーションは相対的ラッチング写像が$\mathcal{E}(x)$で非自明コイブレーションであるものである。
• $\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E}) \to \mathsf{Sect}(\mathcal{X}, \mathcal{E})$の包含は極限と余極限を保存し、モデル構造はこの包含によって生成される。
• 退化的対象$x$に対して、ラッチングおよびマッチング圏は自明であるため、相対的ラッチング写像は同型となり、昇降条件が単純化される。
• $\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$における写像の分解は、各ファイバー$\mathcal{E}(x)$における分解とReedy構造との整合性を用いて、次数ごとに帰納的に構成される。