[論文レビュー] Rees algebras and $p_g$-ideals in a two-dimensional normal local domain

Tomohiro Okuma, Kei-ichi Watanabe+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、代数的に閉じた体上の2次元正則局域環における $p_g$-イデアルの環論的特徴づけを確立する。$\mathfrak{m}$-主イデアル $I$ が $p_g$-イデアルであることと、そのリース代数 $\mathcal{R}(I)$ がコhen-Macaulayで正則な整域であることとは同値であることを証明し、$p_g$-イデアルをそのリース代数と正則ヒルベルト係数を用いて特定するための重要な代数的基準を提示する。

ABSTRACT

The authors introduced the notion of $p_g$-ideals for two-dimensional excellent normal local domain over an algebraicaly closed field in terms of resolution of singularities. In this note, we give several ring-theoretic characterization of $p_g$-ideals. For instance, an $m$-primary ideal $I \subset A$ is a $p_g$-ideal if and only if the Rees alegbra $\mathcal{R}(I)$ is a Cohen-Macaulay normal domain.

研究の動機と目的

• 2次元正則局所環における $p_g$-イデアルの環論的特徴づけを提供すること。
• 特異点の解消に依存する理論を超えて、純粋に代数的な条件へと $p_g$-イデアルの理論を拡張すること。
• リース代数と正則ヒルベルト係数を用いて $p_g$-イデアルの同値条件を確立すること。
• 有理的特異点に関する既知の結果を、正の幾何的 genus を持つ任意の正則局所環へ一般化すること。

提案手法

• 特異点の解消と反非正のサイクルを用いて、$h^1(\mathcal{O}_X(-Z)) = p_g(A)$ という条件により $p_g$-イデアルを定義する。
• 特に $\overline{e}_2(I)$ を用いた正則ヒルベルト係数の理論を応用し、$p_g$-イデアルを特徴づける。
• イデアル $I$ が $p_g$-イデアルであることと、$\mathcal{R}(I)$ がコhen-Macaulayで正則な整域であることとは同値であることを証明する。
• 合同還元と二重次数付きリース代数を用いて、複数のイデアルへの結果の拡張を行う。
• コhen-Macaulay性と $\mathcal{R}(I)$ の正則性が、整閉イデアルかつ第二正則ヒルベルト係数が消えることを示唆する事実を活用する。
• 準同次ホロモルフィック特異点を用いた具体例の構成により、所望の幾何的 genus を持つ $p_g$-イデアルを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元正則局所環における $\mathfrak{m}$-主イデアル $I$ が $p_g$-イデアルであるのはいつか？
• RQ2 リース代数 $\mathcal{R}(I)$ にどのような代数的条件が成立すれば、$I$ が $p_g$-イデアルであると保証されるか？
• RQ3 第二正則ヒルベルト係数 $\overline{e}_2(I)$ の消えることと、$p_g$-イデアル性の関係は何か？
• RQ4 二つの $p_g$-イデアル $I,J$ に対して、二重次数付きリース代数 $\mathcal{R}(I,J)$ がコhen-Macaulayであるための条件は何か？
• RQ5 与えられた幾何的 genus を持つ特異点におけるホロモルフィック特異点において、$p_g$-イデアルを明示的に構成できるか？

主な発見

• $\mathfrak{m}$-主イデアル $I$ が $p_g$-イデアルであることと、そのリース代数 $\mathcal{R}(I)$ がコhen-Macaulayで正則な整域であることとは同値である。
• $I^2 = QI$（$Q$ を最小還元とし）かつすべての $n \geq 1$ に対して $\overline{I^n} = I^n$ であるという条件が、$p_g$-イデアルを特徴づける。
• $\overline{e}_2(I) = 0$ が成り立つことは、$I$ が $p_g$-イデアルであることと同値である。
• 任意の二つの $p_g$-イデアル $I$ と $J$ に対して、一般元 $a \in I$, $b \in J$ が存在し、$IJ = aJ + bI$ が成り立つ。これにより、二重次数付きリース代数 $\mathcal{R}(I,J)$ がコhen-Macaulayであることが保証される。
• 拡張されたリース代数 $\mathcal{R}'(I)$ が正則整域であることと、$I$ が $p_g$-イデアルであることとは同値である。$p_g(A) = p$ である具体例で示されている。
• 幾何的 genus が $p$ であるような特異点の例として、$\mathfrak{m}$ が $p_g$-イデアルであることと、リース代数がコhen-Macaulayであることとは同値である。このようなイデアルは任意の $p \geq 1$ に対して存在する。