[論文レビュー] Rees algebras and resolution of singularities

S. Encinas, Orlando E. Villamayor|ArXiv.org|Feb 27, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 18被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、特徴が0の滑らかなスキーム上のリース代数に対する特異点解消アルゴリズムが、同じ整閉包をもつリース代数に対して同一の解消を生じることを確立している。対象をイデアルからリース代数へと一般化した対数解消の概念を拡張し、Włodarczykの帰納法を用いることで、整閉包の同値性がアルゴリズム的解消の同値性を意味することを証明している。微分作用素と重み付き順序関数を用いることで、変換の間での一貫性を保証している。

ABSTRACT

Embedded principalization of ideals in smooth schemes, also known as Log-resolutions of ideals, play a central role in algebraic geometry. If two sheaves of ideals, say $I_1$ and $I_2$, over a smooth scheme $V$ have the same integral closure, it is well known that Log-resolution of one of them induces a Log-resolution of the other. On the other hand, in case $V$ is smooth over a field of characteristic zero, an algorithm of desingularization provides, for each sheaf of ideals, a unique Log-resolution. In this paper we show that algorithms of desingularization define the same Log-resolution for two ideals having the same integral closure. We prove this result here by using the form of induction introduced by Włodarczyk. We extend the notion of Log-resolution of ideals over a smooth scheme $V$, to that of Rees algebras over $V$; and then we show that two Rees algebras with the same integral closure undergo the same constructive resolution. The key point is the interplay of integral closure with differential operators.

研究の動機と目的

• 滑らかなスキーム上のリース代数の対数解消理論を、特徴が0の状況にまで拡張すること。
• 同じ整閉包をもつ2つのリース代数が、同一のアルゴリズム的解消プロセスを経ることを確立すること。
• 重み付き順序と超曲面の個数を用いる関数 t(𝐺) を導入することで、イデアルとリース代数の解消プロセスを統一すること。
• 整閉包同値性の下で解消アルゴリズムが適切に定義され、一意的な解消経路が保証されることを示すこと。

提案手法

• リース代数を O_V[W] の次数付き部分環として定義し、I_n をイデアルの層とする。点 x における特異点集合を、すべての n に対して ν_x(I_n) ≥ n を満たすことで定義する。
• 関数 t(𝐺) = (w-ord(𝐺), n(𝐺)) を定義する。ここで w-ord は重み付き順序を、n(𝐺) は点を通過する除集合 D 内の超曲面の個数を表す。
• 補助的リース代数 T(𝐺) = 𝐺 ⊙ 𝐺^∨(ω) ⊙ D_m を構成し、解消問題を単純なリース代数に還元する。これにより、Sing(T(𝐺)) = Max t(𝐺) が成り立つ。
• Włodarczykの定理を用いて、単純な代数 T(𝐺) 上での局所的解消手順をグローバル化し、許容的ブ low-up の列の存在を保証する。
• 次元に関する帰納法を用いる： T(𝐺) を滑らかな超曲面 Z 上で解消し、その後 Włodarczyk のグローバライゼーション定理により、局所的解消をグローバルに拡張する。
• 関数 t(𝐺) が有限回のステップで厳密に減少することを示し、解消プロセスの終了を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リース代数のアルゴリズム的解消は、その整閉包にのみ依存するのか、それとも特定のイデアル生成子といったより詳細なデータに依存するのか？
• RQ2 イデアルの対数解消の概念を自然にリース代数へと拡張することは可能か？ また、その際、解消経路の一意性は保たれるか？
• RQ3 微分作用素と重み付き順序関数は、同値なリース代数間で解消プロセスの一貫性を保証するために、どのように作用するか？
• RQ4 一般のリース代数の解消を、構造を保ったまま単純なリース代数の解消に還元する標準的な方法はあるか？
• RQ5 解消アルゴリズムを整閉包同値性に関して不変にできるか？ これにより、同値な代数に対して同一の解消列が得られるか？

主な発見

• リース代数の解消アルゴリズムは整閉包に依存しない：整閉包が同値である2つのリース代数は、同じ解消列を生じる。
• 関数 t(𝐺) = (w-ord(𝐺), n(𝐺)) は解消プロセスを支配し、有限回のステップで厳密に減少するため、解消プロセスの終了が保証される。
• T(𝐺) = 𝐺 ⊙ 𝐺^∨(ω) ⊙ D_m の構成により、その特異点集合は t(𝐺) の最大集合にちょうど一致する単純なリース代数が得られ、より単純な場合への還元が可能になる。
• 許容的ブローアップにおける T(𝐺) の変換は T(𝐺)′ = 𝐺′ ⊙ (𝐺′)^∨(ω) ⊙ D′_m を満たし、解消関数の構造が保たれる。
• max t(𝐺) > max t(𝐺′) であるとき、T(𝐺)′ の特異点集合は空になる。これは、解消プロセスが新たな段階に進んだことを示している。
• アルゴリズムは適切に定義されており、Włodarczykの定理によりグローバライズ可能であり、超曲面上での局所的解消手順をグローバル解消に拡張できる。