[論文レビュー] Rees algebras on smooth schemes: integral closure and higher differential operators

Orlando E. Villamayor|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、完備体上の滑らか多様体におけるRees代数の文脈において、積分閉包と高階微分作用素の間の深い整合性を確立する。2つのRees代数が同じ積分閉包を持つならば、それらに対応するDiff代数——微分作用素と整合性を持つように構成されたもの——も同じ積分閉包を持つことが示され、特異点論と微分代数的構造との間の根本的な関係が明らかになる。

ABSTRACT

Let $V$ be a smooth scheme over a field $k$, and let $\{I_n, n\geq 0\}$ be a filtration of sheaves of ideals in $\calo_V$, such that $I_0=\calo_V$, and $I_s\cdot I_t\subset I_{s+t}$. In such case $\bigoplus I_n$ is called a Rees algebra. A Rees algebra is said to be a Diff-algebra if, for any two integers $N>n$ and any differential operator $D$ of order $n$, $D(I_N)\subset I_{N-n}$. Any Rees algebra extends to a smallest Diff-algebra. There are two ways to define extensions of Rees algebras, and both are of interest in singularity theory. One is that defined by taking integral closures (in which a Rees algebra is included in its integral closure), and another extension is that defined, as above, in which the algebra is extended to a Diff-algebra. Surprisingly enough, both forms of extension are compatible in a natural way. Namely, there is a compatibility of higher differential operators with integral closure which we explore here under the assumption that $V$ is smooth over a perfect field.

研究の動機と目的

• Rees代数の積分閉包と、高階微分作用素と整合性を持つように拡張されたDiff代数との間の相互作用を調査すること。
• 滑らか多様体上の完備体上での設定において、最小のDiff代数拡張の構成が積分閉包と可換であることを確立すること。
• 正標数におけるRees代数への解消定理および対数主理想化の結果の拡張のための土台を提供すること。
• 滑らか部分多様体へのDiff代数の制限が、リトラクションの選び方に依存しない（積分閉包の意味で）ことを示すこと。
• 微分作用素と積分閉包から構築された代数的構造を用いて、正標数における消去理論および特異点の解消の発展を支援すること。

提案手法

• 本稿は、滑らか多様体上の多項式環の可換な次数部分代数としてRees代数を定義し、乗法的フィルトレーション性質を満たすイデアルによって生成されるものとする。
• 微分作用素のすべての位数に対して作用する閉じたRees代数としてDiff代数の概念を導入し、$ D(I_N) \to I_{N-n} $ が位数$ n $の作用素$ D $に対して成り立つように保証する。
• すべての微分作用素と整合性を持つという要請に基づき、任意のRees代数$ \rho $に対する最小のDiff代数拡張$ G(\rho) $を構成する。
• 滑らかなリトラクションによる制限関手を用いて、次元を低次元の設定に還元し、積分閉包の性質がより取り扱いやすい1次元の状況に帰着させる。
• 滑らかな曲線への制限によって定義されるRees代数の係数理論を用い、元の代数の積分閉包とそのDiff代数拡張の積分閉包との関係を結ぶ。
• 有限拡張および基底変換の下で積分閉包とDiff代数拡張が可換であるという事実を活用し、1次元の場合への還元によって主要な結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rees代数の積分閉包は、微分作用素と整合性を持つDiff代数への拡張と可換か？
• RQ2 滑らか部分多様体へのDiff代数の制限はリトラクションの選び方に依存するか？ そして、積分閉包の意味でwell-definedであるか？
• RQ3 最小のDiff代数拡張の構成は、Rees代数の有限拡張の下でも、積分閉包のような不変量を保存するか？
• RQ4 滑らか部分多様体への制限において、Diff代数構造は局所的リトラクションの選び方に依存しない程度はどの程度か？
• RQ5 積分閉包と微分作用素の整合性は、正標数におけるRees代数への解消定理の拡張にどのように利用できるか？

主な発見

• 主定理6.12は、2つのRees代数が同じ積分閉包を持つならば、それに対応する関連するDiff代数拡張$ G(\rho_1) $と$ G(\rho_2) $も同じ積分閉包を持つことを確立する。
• 定理6.13は、Rees代数の有限拡張の係数代数$ \mathrm{Coeff} $が滑らか部分多様体への制限のもとでも有限のまま保たれることを示し、有限拡張の性質が保存されることを示す。
• 定理6.14は、滑らか部分多様体への制限によって誘導されるDiff代数構造が、局所的リトラクションの選び方に依存しない（積分閉包の意味で）ことを証明する。
• 本稿は、与えられた仮定のもとで、Rees代数の係数代数$ \mathrm{Coeff} $の積分閉包が、それによって生成されるDiff代数の積分閉包と一致することを示している。
• 1次元滑らか多様体へのDiff代数の制限は、元のRees代数の係数代数によって生成されるDiff代数に正確に一致する。これは、補題6.6で示されている。
• 基底変換および有限拡張の下で、積分閉包とDiff代数拡張の整合性が保たれることを、1次元の場合への還元によって確立している。