[論文レビュー] Refactorization of Cauchy's method: a second-order partitioned method for fluid-thick structure interaction problems

Martina Bukač, Anyastassia Seboldt+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 51被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、再構築されたカウチのθ法を用いた第二階層の強力に結合された分割型手法を、流体-厚肉構造相互作用（FSI）問題に提案する。一般化されたロビン界面条件を用い、時間積分を流体および構造の後退オイラー（BE）部分反復と、その後に続く前進オイラー（FE）補外に分割することで、θ ∈ [1/2, 1] に対して第二階層の精度と無条件安定性を達成した。収束解析および生理的パラメータを用いたベンチマーク FSI シミュレーションにより検証された。

ABSTRACT

This work focuses on the derivation and the analysis of a novel, strongly-coupled partitioned method for fluid-structure interaction problems. The flow is assumed to be viscous and incompressible, and the structure is modeled using linear elastodynamics equations. We assume that the structure is thick, i.e., modeled using the same number of spatial dimensions as fluid. Our newly developed numerical method is based on generalized Robin boundary conditions, as well as on the refactorization of the Cauchy's one-legged `theta-like' method, written as a sequence of Backward Euler-Forward Euler steps used to discretize the problem in time. This family of methods, parametrized by theta, is B-stable for any theta in [0.5,1] and second-order accurate for theta=0.5+O(tau), where tau is the time step. In the proposed algorithm, the fluid and structure subproblems, discretized using the Backward Euler scheme, are first solved iteratively until convergence. Then, the variables are linearly extrapolated, equivalent to solving Forward Euler problems. We prove that the iterative procedure is convergent, and that the proposed method is stable provided theta in [0.5,1]. Numerical examples, based on the finite element discretization in space, explore convergence rates using different values of parameters in the problem, and compare our method to other strongly-coupled partitioned schemes from the literature. We also compare our method to both a monolithic and a non-iterative partitioned solver on a benchmark problem with parameters within the physiological range of blood flow, obtaining an excellent agreement with the monolithic scheme.

研究の動機と目的

• 厚肉で密度の高い構造体を伴う FSI 問題において、古典的なディリクレ＝ノイマンスキームの不安定性と非最適収束性を解消する。
• O(τ^{1/2}) の収束性とオペレータ分割誤差を抱える緩く結合されたスキームの限界を克服する。
• 第二階層の時間精度を達成しつつ、安定性と計算効率を維持する強力に結合された分割型スキームを開発する。
• 現実的な血行動態設定において、さまざまな界面パラメータ（α）と時間刻み許容誤差（ε）に対して、頑健性を確保する。
• 生理的関連性のあるベンチマーク FSI 問題において、モノリシックソルバーと優れた一致を示す。

提案手法

• カウチの片腕「θ-類似」法を、流体および構造の部分問題に後退オイラー（BE）ステップを繰り返し適用する時間離散化に再構築する。
• パラメータ α を用いて運動的（ディリクレ）および動的（ノイマン）条件を組み合わせることで、一般化されたロビン界面条件を実装する。
• BE 収束後に線形補外（前進オイラー問題を解くことに相当）を適用することで、第二階層の精度を達成する。
• エネルギー推定を用いて BE 部分反復の収束性と、θ ∈ [1/2, 1] における安定性を証明する。
• 空間領域を、流体（速度-圧力）に P2-P1 フェイニート要素、構造（速度-変位）に P2 要素で離散化する。
• モノリシック、提案手法、緩く結合されたスキームを、同一メッシュおよび時間刻みで解き、直接比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厚肉構造体に適用可能な分割型 FSI スキームが、流体と固体の密度が同程度である場合に第二階層の時間収束性を達成できるか？
• RQ2 カウチのθ法の BE-FE 再構築が、一般化されたロビン結合条件下でも安定性と収束性を保証するか？
• RQ3 界面パラメータ α および部分反復許容誤差 ε が収束速度と計算コストに与える影響は？
• RQ4 生理的関連性のある FSI ベンチマーク問題において、提案手法はモノリシックおよび非反復的分割ソルバーと比較して、精度と安定性で優れているか？
• RQ5 ε を時間刻み τ と同率に減少させた場合、最適収束性が維持されるか？

主な発見

• θ = 1/2 の場合、提案手法は時間方向に第二階層収束（O(τ²)）を達成し、ε を τ に比例して減少させると最適収束率が維持される。
• 他のθ値では収束率が O(τ) から O(τ²) に低下し、ε が大きすぎる（例：ε = 10⁻³）と非最適性が生じるが、τ に応じてεを小さくすることで是正される。
• 1時間刻みあたりの BE 部分反復の平均回数は通常 2 回程度であり、τ が小さくなると減少し、ロビン＝ノイマンまたはロビン＝ロビンスキームと比較して反復回数が少ない。
• 生理的パラメータを用いたベンチマーク血流問題において、提案手法とモノリシックソルバーとの間で、流速、圧力、界面変位において優れた一致が観察された。
• エネルギー推定により、θ ∈ [1/2, 1] に対して無条件安定であることが証明され、α の広い範囲で頑健である。特に、先行研究で得られた最適 αopt に対しても同様に有効である。
• 非反復的分割ソルバーと比較して、提案手法は精度が高く、顕著に小さいオペレータ分割誤差を示し、モノリシック基準解との一致が良好である。