[論文レビュー] Refined Analytic Torsion

Maxim Braverman, Thomas Kappeler|ArXiv.org|May 25, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、奇数次元のコンpakトな向き付け可能多様体上のアセイクリックな平坦接続に対して、リーマン計量に依存しない正則関数として定義される、精錬された解析 torsion $T_\alpha$ を導入する。この $T_\alpha$ は、レイ＝シンガー torsion と $\eta$-不変量を統合する単一の複素数値不変量である。本稿は、チーバー＝ミュラーの定理を一般化し、精錬された解析 torsion とトゥレイエフの組み合わせ的 torsion の間の正則関係を確立する。また、非自己共役な楕円型作用素の行列式と $\eta$-不変量に関する新しい結果を示す。

ABSTRACT

For an acyclic representation of the fundamental group of a compact oriented odd-dimensional manifold, which is close enough to a unitary representation, we define a refinement of the Ray-Singer torsion associated to this representation. This new invariant can be viewed as an analytic counterpart of the refined combinatorial torsion introduced by Turaev. The refined analytic torsion is a holomorphic function of the representation of the fundamental group. When the representation is unitary, the absolute value of the refined analytic torsion is equal to the Ray-Singer torsion, while its phase is determined by the eta-invariant. The fact that the Ray-Singer torsion and the eta-invariant can be combined into one holomorphic function allows to use methods of complex analysis to study both invariants. In particular, we extend and improve a result of Farber about the relationship between the Farber-Turaev absolute torsion and the eta-invariant.

研究の動機と目的

• 奇数次元多様体上のアセイクリックな平坦接続に対して、レイ＝シンガー torsion と $\eta$-不変量を統合する正則関数としての解析 torsion の精錬を定義すること。
• トゥレイエフの精錬された組み合わせ的 torsion に当たる解析的対応物としての正則不変量 $T_\alpha$ を構成すること。
• 精錬された解析 torsion とトゥレイエフの組み合わせ的 torsion の間の正則関係を確立し、古典的なチーバー＝ミュラーの定理を一般化すること。
• ファーバーの、ファーバー＝トゥレイエフの絶対 torsion と $\eta$-不変量との関係に関する結果を、より広い設定で位相を比較することによって拡張・改善すること。
• 非自己共役な楕円型作用素の行列式と $\eta$-不変量に関する新しい結果を証明すること。特に、$\det D$ と $\det D^2$、$\eta(D)$ の関係を明らかにすること。

提案手法

• 精錬された解析 torsion $T_\alpha$ を、計量異常を補正した奇数スクリーニング作用素の階数付き行列式として定義し、計量に依存しないようにする。
• $\zeta$-正則化行列式と $\eta$-不変量を用いて、非自己共役作用素 $D$ の行列式を $\det(D^2)$、$\zeta(0; D^2)$、$\eta(D)$ の形で表現する。
• 接続のフレシェ位相を用い、単位的に近い表現の空間上で、$T_\alpha$ を正則関数として構成する。
• $\nabla$ がヘルミート接続であるとき、$|T_\alpha| = T^{\text{RS}}(\nabla)$ であり、$\arg(T_\alpha)$ が奇数スクリーニング作用素の $\eta$-不変量に比例することを証明する。
• 複素解析的手法を用いて $T_\alpha$ をトゥレイエフの精錬された組み合わせ的 torsion と比較し、正則同値性を確立する。
• 非単位的設定でも精錬 torsion を定義可能となるように、ギルキーの $\eta$-不変量構成の符号を精錬した版を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元多様体上の平坦接続に対して、レイ＝シンガー torsion と $\eta$-不変量を単一の正則不変量に統合することは可能か？
• RQ2 非ユニタリ表現に対しても、平坦接続の関数として精錬された解析 torsion をどのように定義できるか？
• RQ3 精錬された解析 torsion とトゥレイエフのリーマン・トゥレイエフ torsion の組み合わせ的精錬との正確な関係は何か？
• RQ4 精錬された解析 torsion は、ファーバーのファーバー＝トゥレイエフの絶対 torsion と $\eta$-不変量の関係に関する比較をどのように拡張・改善するか？
• RQ5 非自己共役な楕円型作用素の行列式と $\eta$-不変量に対して、どのような新しい性質を確立できるか？

主な発見

• 精錬された解析 torsion $T_\alpha$ は、$\pi_1(M)$ のアセイクリック表現の空間（ユニタリに近い近傍）上で正則関数として定義され、レイ＝シンガー torsion の複素数値の精錬を提供する。
• $\nabla$ がヘルミート接続であるとき、$|T_\alpha| = T^{\text{RS}}(\nabla)$ であり、$\arg(T_\alpha)$ は奇数スクリーニング作用素の $\eta$-不変量に比例する。
• 精錬された解析 torsion は、計量異常という補正項を除けば、リーマン計量に依存しない。これにより、幾何学的不変性が保証される。
• $\dim M \equiv 1 \pmod{4}$ または $\operatorname{rk} E$ が 4 の倍数である場合、$T_\alpha$ はすべての選択に依存しない。それ以外の場合は、位相因子 $i^{k \cdot \operatorname{rk} E}$ を除いて、境界多様体 $N$ の選択に依存する。
• 本稿では、精錬された解析 torsion とトゥレイエフのリーマン・トゥレイエフ torsion の組み合わせ的精錬との間の正則関係を確立し、チーバー＝ミュラーの定理を一般化する。
• 非自己共役な楕円型作用素 $D$ の行列式に関する新しい公式を証明する：$\det D = \exp\left( -\frac{1}{2} \eta(D) \right) \cdot \sqrt{ \det(D^2) } \cdot \zeta(0; D^2)^{-1/2} $。これは、既知の結果を非自己共役設定へと拡張する。