[論文レビュー] Refined enumeration of $k$-plane trees and $k$-noncrossing trees

Isaac Owino Okoth, Stephan M. Wagner|arXiv (Cornell University)|May 2, 2022

Graph theory and applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1から$k$までの各値でラベル付けられた頂点の数に基づいて、$k$-平面木および$k$-非交差木の洗練された列挙公式を提示する。関数方程式とラグランジュ＝バーマン逆行列公式を用いて、所定のラベル頻度を持つような木の数に対する明示的な積公式を導出し、閉形式の表現と新しい組合せ的恒等式を得た。主な貢献は、与えられたラベル周波数を持つ$k$-平面木の洗練された数え上げに対する驚くほど単純な積公式である。

ABSTRACT

A $k$-plane tree is a plane tree whose vertices are assigned labels between $1$ and $k$ in such a way that the sum of the labels along any edge is no greater than $k+1$. These trees are known to be related to $(k+1)$-ary trees, and they are counted by a generalised version of the Catalan numbers. We prove a surprisingly simple refined counting formula, where we count trees with a prescribed number of labels of each kind. Several corollaries are derived from this formula, and an analogous theorem is proven for $k$-noncrossing trees, a similarly defined family of labelled noncrossing trees that are related to $(2k+1)$-ary trees.

研究の動機と目的

• 1から$k$までの各値でラベル付けられた頂点の数に基づいて、$k$-平面木の洗練された数え上げ公式を導出すること。
• 関連する非交差ラベル付き木の族である$k$-非交差木へと洗練された列挙を拡張すること。
• 所定のラベル頻度を持つような木の数に対する明示的な積公式を確立し、一般化されたカタラン数を一般化すること。
• これらの木の族におけるラベル頻度のモーメントおよび分布（平均、分散、共分散を含む）を計算すること。
• $k=2$の場合に、平面木における独立集合に関する既知の結果が特殊ケースとして回復されることを示すこと。

提案手法

• ラベル付き木の数を符号化する母関数の関数方程式系を定式化すること。
• 関数方程式を解き、係数を抽出するためにラグランジュ＝バーマン逆行列公式を適用すること。
• 母関数の系を簡略化するための戦略的置換を用い、閉形式の表現を導出すること。
• 根のラベルに応じて場合分けしながら、所定のラベル数を持つ$k$-平面木の数に対する積公式を導出すること。
• 特定のステップタイプおよびレベル別ダウンステップ数を持つ格子パスと関連付けることにより、$k$-非交差木へと手法を拡張すること。
• 母関数を微分し、留数計算を用いて係数を抽出することで、モーメント（平均、分散、共分散）を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各$i \in [k]$に対して、ラベル$i$が割り当てられた頂点数が与えられたとき、$k$-平面木の正確な数は何か？
• RQ2 $k$-平面木におけるラベルの分布は、特に平均、分散、共分散の観点でどのように振る舞うか？
• RQ3 $k$-非交差木の洗練された数え上げが、$k$-平面木のそれと類似した積公式で表現可能か？
• RQ4 $k=2$の場合に、結果が平面木における独立集合に関する既知の結果をどのように回復または一般化するか？
• RQ5 得られた$k$-平面木および$k$-非交差木の積公式の背後にある構造的対称性または双対性は何か？

主な発見

• 根ラベルが$h$で、$i \in [k]$に対してラベル$i$が$\ell_i$個の頂点を持つ$k$-平面木の数は、$h$、$k$、および累積ラベル数に依存する二項係数の積として与えられる。
• $k=4$の場合、ラベル1,2,3,4がそれぞれ$\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$個の頂点を持つ4-平面木の総数は、$\frac{1}{n-1}\binom{2n-2}{\ell_1}\binom{2n-2-\ell_1-\ell_4}{\ell_2}\binom{n-1}{\ell_3}\binom{\ell_1+\ell_4-1}{\ell_4}$である。
• ラベル1の頂点数の分散は、$n$個の頂点を持つ2-非交差木において、$\frac{3(2n-1)(4n-3)(49n^2-100n+44)}{25(5n-6)(7n-5)^2}$である。
• 2-非交差木におけるラベル1と2の頂点数の共分散は負であり、その絶対値はいずれのラベルの分散と等しく、これはラベルの合計が$n$に固定されているためである。
• 根ラベルが1で$n$個の頂点を持つ2-非交差木において、ラベル1の頂点数の平均は$\frac{3n^2 - n - 1}{5n - 4}$である。
• $k=2$の場合の結果は、平面木における各サイズの独立集合の数に関する既知の公式を回復し、先行研究と整合性を確認している。