[論文レビュー] Refined restricted inversion sequences

Dongsu Kim, Zhicong Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

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ひとこと要約

本稿は、制限付きの逆順序列に関する精緻な統計を調査し、000を避ける逆順序列とSimsun順列の間で、新しい双対写像を確立することで、制限付きの二重Euler的分布の証明を行っている。さらに、MartinezとSavageの予想を精緻化し、その予想がobstinate kernel法を用いて証明され、集合 $\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$ がBaxter数 $B_n$ で数えられることを示している。

ABSTRACT

Recently, the study of patterns in inversion sequences was initiated by Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch and Mansour-Shattuck independently. Motivated by their works and a double Eulerian equidistribution due to Foata (1977), we investigate several classical statistics on restricted inversion sequences that are either known or conjectured to be enumerated by {\em Catalan}, {\em Large Schröder}, {\em Baxter} and {\em Euler} numbers. One of the two highlights of our results is a fascinating bijection between $000$-avoiding inversion sequences and Simsun permutations, which together with Foata's V- and S-codes, provide a proof of a restriced double Eulerian equdistribution. The other one is a refinement of a conjecture due to Martinez and Savage that the cardinality of $\I_n(\geq,\geq,>)$ is the $n$-th Baxter number, which is proved via the so-called {\em obstinate kernel method} developed by Bousquet-Mélou.

研究の動機と目的

• 制限付きの逆順序列に関する精緻な統計、特に上昇、相異なる要素、最後の要素を調査すること。
• 000を避ける逆順序列とSimsun順列の間で、新しい双対写像を用いて関係を確立すること。
• MartinezとSavageが提起した精緻化された予想、すなわち $\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$ が第 $n$ 個のBaxter数に等しいことを証明すること。
• 制限付きの逆順序列における上昇多項式の実根性および単峰性を調査すること。
• V-およびS-コードを用いて、古典的なEuler的分布を制限付きの逆順序列へと拡張すること。

提案手法

• 000を避ける逆順序列とSimsun順列の間で双対写像を構築し、パターンを避ける逆順序列と順列の統計の間の関係を結ぶ。
• FoataのV-およびS-コードを適用して、逆順序列における制限付きの二重Euler的分布を証明する。
• obstinate kernel法を用いて、$|\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)| = B_n$ であることを証明する。
• 母関数および組合せ的配置を用いて、制限付きの逆順序列における上昇および相異なる要素の分布を分析する。
• 板の配置における帰納法および行・列の変換を用いて、相異なる要素と最後の要素の母関数を等しくする。
• Simsun順列の逆上昇多項式 $E_n(t)$ を導入し、その実根性を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 000を避ける逆順序列とSimsun順列との間に、降下および上昇統計の分布の一致を説明する双対写像は存在するか？
• RQ2 $\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$ の集合の濃度が実際に第 $n$ 個のBaxter数に等しいか？
• RQ3 Simsun順列の上昇多項式は実根を持ち、対数的凸性および単峰性を満たすか？
• RQ4 $\mathfrak{S}_n$ における二重Euler的分布を、制限付きの逆順序列へと精緻化および拡張できるか？
• RQ5 制限付きの逆順序列における相異なる要素および最後の要素の母関数の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 000を避ける逆順序列とSimsun順列との間で双対写像が構築され、制限付きの二重Euler的分布の組合せ的証明が得られた。
• obstinate kernel法を用いて、$|\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)| = B_n$ であるという予想が証明された。
• Simsun順列の逆上昇多項式 $E_n(t)$ が $n = 2$ から $6$ まで実根を持つことが示され、実根性の予想を支持する。
• 板の変換に関する配置に基づく帰納法により、制限付きの逆順序列における上昇と相異なる要素の母関数が等しいことが示された。
• $\mathbf{I}_n$ における上昇の分布は $\mathfrak{S}_n$ と一致し、上昇と最後の要素の同時分布は $\mathfrak{S}_n$ と $\mathbf{I}_n$ の間で分布が等しい。
• 逆上昇多項式 $E_n(t)$ の最初の値が計算され、$E_2(t) = 1 + t$、$E_3(t) = 4t + t^2$、$E_4(t) = 4t + 11t^2 + t^3$、$E_5(t) = 2t + 32t^2 + 26t^3 + t^4$、および $E_6(t) = t + 52t^2 + 161t^3 + 57t^4 + t^5$ が得られた。