[論文レビュー] Refinement for Signal Flow Graphs

Brendan Fong|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Petri Nets in System Modeling参考文献 90被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、信号フローダイアグラム、電気回路、マルコフ過程などのネットワーク風の図式的言語を、ハイパーグラフ圏、装飾付きコスパン、およびコリレーションを用いて、圏論的枠組みでモデル化する。すべてのハイパーグラフ圏が装飾付きコリレーションによって構成可能であることが確立され、開システムの構成的意味論が可能となり、線形定常系および受動的線形ネットワークに理論を適用。ブラックボックス化が関手によって構造を保存することを示した。

ABSTRACT

Herein we develop category-theoretic tools for understanding network-style diagrammatic languages. The archetypal network-style diagrammatic language is that of electric circuits; other examples include signal flow graphs, Markov processes, automata, Petri nets, chemical reaction networks, and so on. The key feature is that the language is comprised of a number of components with multiple (input/output) terminals, each possibly labelled with some type, that may then be connected together along these terminals to form a larger network. The components form hyperedges between labelled vertices, and so a diagram in this language forms a hypergraph. We formalise the compositional structure by introducing the notion of a hypergraph category. Network-style diagrammatic languages and their semantics thus form hypergraph categories, and semantic interpretation gives a hypergraph functor. The first part of this thesis develops the theory of hypergraph categories. In particular, we introduce the tools of decorated cospans and corelations. Decorated cospans allow straightforward construction of hypergraph categories from diagrammatic languages: the inputs, outputs, and their composition are modelled by the cospans, while the 'decorations' specify the components themselves. Not all hypergraph categories can be constructed, however, through decorated cospans. Decorated corelations are a more powerful version that permits construction of all hypergraph categories and hypergraph functors. These are often useful for constructing the semantic categories of diagrammatic languages and functors from diagrams to the semantics. To illustrate these principles, the second part of this thesis details applications to linear time-invariant dynamical systems and passive linear networks.

研究の動機と目的

• ネットワーク風の図式的言語（例：信号フローダイアグラム、電気回路）を圏論を用いて形式化すること。
• 接続をハイパーグラフ圏としてモデル化することで、開システムの一般化された構成的意味論を構築すること。
• すべてのハイパーグラフ圏および関手を生成する普遍的構成法としての装飾付きコリレーションを導入すること。
• 線形定常系および受動的線形ネットワークにこの枠組みを適用し、関手によるブラックボックス化を示すこと。
• マルコフ過程や電気回路といった多様なシステムを、共通の構成的構造の下に統合すること。

提案手法

• ハイパーグラフ圏を用いて、入出力によって接続されるコンポーネントの構成的構造をモデル化する。
• コスパンがインターフェースをモデル化し、装飾がコンポーネントの種類を指定するように、装飾付きコスパンを導入して図式的言語からハイパーグラフ圏を構成する。
• すべてのハイパーグラフ圏および関手を捉えるより強力な構成法としての装飾付きコリレーションを開発し、開システムのブラックボックス化を可能にする。
• ブラックボックス関手を、開システムからその動作へのハイパーグラフ関手として定義し、コリレーションを用いて入出力関係を表現する。
• 線形系に対しては、動作を環 k[s, s⁻¹] 上の加群としてモデル化する。受動的ネットワークに対しては、ディリクレ形式およびラグランジュ関係を用いる。
• 因子分解系（エピ分割モノ）を用いて、システムの最小表現を定義し、効率的なシステムの抽象化を可能にするバウンドコロイミットの概念を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワーク風の図式的言語は、どのように圏論を用いて形式的にモデル化できるか？
• RQ2 図式的言語からすべてのハイパーグラフ圏および関手を生成する普遍的構成法は何か？
• RQ3 開システム（例：回路、マルコフ過程）の意味論は、関手を用いてどのように構成的に捉えられるか？
• RQ4 線形システムのブラックボックス化の背後にある圏論的構造は何か？そして、それが構成性をどのように保存するか？
• RQ5 受動的ネットワークにおける最小仕事の原理は、一般化可能か？また、ラグランジュ関係およびシンプレクティック構造とどのように関係するか？

主な発見

• すべてのハイパーグラフ圏が装飾付きコリレーション圏として構成可能であり、装飾付きコリレーションが普遍的構成法であることが示された。
• 受動的線形開ネットワークからラグランジュ関係へのブラックボックス関手はハイパーグラフ関手であり、構成性と構造を保存することが確認された。
• 線形定常系の圏はハイパーグラフ圏として提示され、動作が k[s, s⁻¹] 上の加群としてモデル化された。
• 詳細なバランスの取れたマーカフ過程の動作は最小散逸によって特徴づけられ、その意味論はラグランジュ関係への関手を通じて因数分解される。
• バウンドコロイミット構成により、プッシュアウトの共同エピック部分を抽出することで、開システムの最小表現が得られ、ブラックボックス化の一般化が達成された。
• 開マーカフ過程をモデル化する関手と開電気回路をモデル化する関手の間に自然変換が存在し、両者のシステム間に深い構造的類似性があることが示された。